Cтраница 4
Это есть уравнение Гамильтона - Якоби в релятивистской механике. Переход к предельному случаю классической механики в уравнении ( 9 19) совершается следующим образом. Прежде всего необходимо учесть, как и при соответствующем переходе в ( 9 7), что в релятивистской механике энергия частицы содержит член / пс2, которого нет в классической механике. [46]
Разумеется, уравнение Гамильтона - Якоби обычно удается решить в замкнутом виде только в тех же случаях, когда решение может быть найдено как-либо еще. Но выкладки, ведущие к разысканию интегралов движения, при использовании уравнения Гамильтона - Якоби сильно сокращаются по сравнению с другими методами решения задач механики. Кроме того, по конкретному виду уравнения (10.20) легче заключить, допускает ли оно решение в замкнутой форме. [47]
Следовательно, уравнения Гамильтона определяют векторное поле в фазовом пространстве. [48]
Решение евклидова уравнения Гамильтона - Якоби в виде (11.23) возможно лишь в области, ограниченной огибающей наших траектории, которою называют каустикой, или каустической поверхностью. Каустика изображена на рис. 11.3 пунктирной линией. Вне каустической поверхности найти убывающее решение уравнения Шредингера (11.20) изложенным только что способом невозможно. [49]
Нетрудно получить уравнение Гамильтона - Якоби и для общего случая. Для определенности мы рассмотрим движение точки со скоростью, меньшей скорости света. [50]
Аналогично и уравнения Гамильтона сразу можно обобщить на случай многих частиц. [51]