Cтраница 3
Эта теорема дает нам возможность обращаться с обратными уравнениями не прибегая к излишним ограничениям, и значительно упрощает вывод этих уравнений. [31]
Выразим теперь du / dt в соответствии с обратным уравнением (4.6) и применим к полученному в правой части () интегралу интегрирование по частям. [32]
Для этих траекторий справедливы уравнение Фоккера - Планка-Колмогорова и обратное уравнение Колмогорова. [33]
Заметим, что та же проблема возникает и для обратного уравнения, для которого подходящим пространством функций служит С [61,62] а. Этот разрыв был восполнен Эллиоттом [6.20], получившим в действительности несколько более общий результат. [34]
Легко видеть, что как прямое, так и обратное уравнения Колмогорова относятся к параболическому типу. При рассмотрении стохастических задач такие уравнения принято называть диффузионными. [35]
Конечное состояние ( у, f) входит в решение обратного уравнения Колмогорова как параметр. Можно сказать, что это уравнение дает решение задачи, в которой процесс Xt должен начаться в момент времени s9 чтобы в момент f перейти в заданное состояние у. Это уравнение будет использовано нами при определении случайной величины - времени перехода водоема из одного состояния в другое. [36]
В то же время процесс удовлетворяет предположениям, приводящим к обратным уравнениям, но не предположениям, приводящим к прямым уравнениям. [37]
В этом случае существует бесконечное число настоящих переходных вероятностей, удовлетворяющих обратным уравнениям и уравнению Колмогорова - Чэпмена, и, следовательно, существует бесконечно много марковских процессов, удовлетворяющих предположениям 1 и 2, лежащим в основе обратных уравнений. [38]
Отметим, что в терминах экспоненциального отображения, аналогично § 13, обратные уравнения будут описаны в § 2 О. [39]
Показано, что связь между стохастическим дифференциальным в ЗШП и соответствующим ему обратным уравнением Колмогорова аналогична ( описанной в § 6) овязи между зволвционным дифференциальным уравнением в ЦЩ и уравнением для его первых интегралов, которая, в свои очередь, аналогична связи между двумя линейными эволюционными уравнениями, в правых частях которых стоят сопряженные линейные операторы. Изложение в этом дополнении носит формальный характер. [40]
Тогда для того, чтобы были справедливы и система прямых, и система обратных уравнений Колмогорова, необходимо и достаточно, чтобы почти все траектории обладали следующим свойством: если X ( s uj) - оо при s - t с одной стороны ( слева или справа), то X ( s u) - оо при s - t с обеих сторон. [41]
Так как оба равенства ( 1) и ( 2) взаимосвязаны как прямое и обратное уравнения, функции G ( t) и J ( t) не могут быть независимыми друг от друга. [42]
Ясно, что прямые и обратные уравнения не независимы друг от друга: решения обратных уравнений с начальными условиями (8.2) автоматически удовлетворяют прямым уравнениям. Эти связи указаны здесь только в качестве подготовки к общей теории следующего параграфа. [43]
Однако, как мы увидим, существуют процессы с бесконечным числом скачков, удовлетворяющие обратному уравнению. Следовательно, прямое уравнение не вытекает из основных предположений о рассматриваемом процессе. [44]
Из этих постулатов мы выведем две системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которые будут названы соответственно прямыми и обратными уравнениями. При обычных обстоятельствах каждая из двух этих систем определяет переходные вероятности единственным образом. Прямые уравнения с вероятностной точки зрения являются более естественными, однако, как ни странно, при их выводе требуются более сильные и менее интуитивно ясные предположения. [45]