Cтраница 3
Решение дифференциальных уравнений при помощи преобразования Лапласа производится всегда таким образом, что заданное уравнение отображается из множества оригиналов во множество изображений, а затем решается изображающее уравнение. Последний, и обычно самый трудный, шаг состоит в нахождении оригинала, соответствующего найденному изображению. [31]
У ( z) 3 / n и F ( z) 3 Ы - Как и при решении дифференциальных уравнений посредством преобразования Лапласа, так и теперь в изображающее уравнение входят, а потому автоматически учитываются начальные значения, что является большим преимуществом по сравнению с классическим методом решения разностных уравнений. [32]
Решение функциональных уравнений ( дифференциальных, разностных, интегральных) посредством преобразования Лапласа производится всегда таким образом, что заданное уравнение отображается из пространства оригиналов в пространство изображений, а затем решается изображающее уравнение. Последний и обычно самый трудный шаг состоит в вычислении оригинала, соответствующего найденному изображению. [33]
Эта схема показывает, что непосредственное решение дифференциального уравнения, заданного вместе с начальным условием в пространстве оригиналов, заменяется косвенным решением в пространстве изображений, а именно: сначала от заданного дифференциального уравнения мы переходим посредством прямого преобразования Лапласа к изображающему уравнению, которое является алгебраическим уравнением, а затем, решив изображающее уравнение, переходим посредством обратного преобразования Лапласа назад в пространство оригиналов и получаем при этом решение первоначальной задачи. [34]
К такому же результату можно прийти и более сложным путем, если неизвестные начальные значения у ( 0) и у ( 0) вычислить так, как было указано выше, и затем при преобразовании Лапласа уравнения (18.4) подставить эти начальные значения в изображающее уравнение. Тогда окажется, что дополнительные члены, которые появятся в изображающем уравнении от этих начальных значений, и члены, в которые войдут начальные значения возмущающей функции f ( t), взаимно уничтожатся. Однако при этом следует предполагать, что функция l ( t) допускает многократное дифференцирование. [35]
Эта схема показывает, что непосредственное решение дифференциального уравнения, заданного вместе с начальным условием в пространстве оригиналов, заменяется косвенным решением в пространстве изображений, а именно: сначала от заданного дифференциального уравнения мы переходим посредством прямого преобразования Лапласа к изображающему уравнению, которое является алгебраическим уравнением, а затем, решив изображающее уравнение, переходим посредством обратного преобразования Лапласа назад в пространство оригиналов и получаем при этом решение первоначальной задачи. [36]
Таким образом, прямое решение уравнения в частных производных при заданных начальных и граничных условиях заменяется косвенным решением: посредством преобразования Лапласа совершается переход из пространства оригиналов в пространство изображений; это приводит к замене уравнения в частных производных обыкновенным дифференциальным уравнением II притом таким, которое уже содержит в себе заданные начальные условия, вследствие чего они учитываются в дальнейшем автоматически; граничные же условия исходного уравнения переходят в граничные условия изображающего уравнения. Лапласа, которое и приводит к решению первоначальной задачи. [37]
Именно столько значений и должно быть задано для того, чтобы решение дифференциального уравнения второго порядка было однозначно определено. Изображающее уравнение опять является линейным алгебраическим уравнением. [38]
Расчет переходного процесса в этом случае может быть проведен следующим образом. Из полученной системы изображающих уравнений находятся изображения искомых величин и по одной из теорем разложения или по общей формуле обращения - сами искомые величины. [39]
Таким образом, в результате применения преобразования Лапласа к уравнению с частными производными частные производные по t устраняются и в изображающем уравнении остаются только частные производные по координатам. Это означает, что изображающее уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, в которое автоматически входит начальное условие. Следовательно, к этому уравнению следует присовокупить лишь граничные условия, разумеется в преобразованном виде, и решение для изображения может быть получено. [40]
Таким образом, в результате применения преобразования Лапласа к уравнению с частными производными, частные производные по t устраняются и в изображающем уравнении остаются только частные производные по координате. Это означает, что изображающее уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, в которое автоматически входит начальное условие. [41]
Поскольку сейчас нас интересует формальная сторона метода, воспользуемся решением посредством определителей. В правой части каждого изображающего уравнения имеется изображение Fi ( s) входной функции и численная постоянная, зависящая от начальных значений. [42]
Можно сразу составить соответствующие им изображающие уравнения, поступив для этого следующим образом: для каждого контура взять протекающие в нем токи, для каждого из этих токов выписать соответствующий ему импеданс, перемножить соответственные токи и импедансы и, наконец, сложить полученные произведения с учетом направления тока. [43]
К такому же результату можно прийти и более сложным путем, если неизвестные начальные значения у ( 0) и у ( 0) вычислить так, как было указано выше, и затем при преобразовании Лапласа уравнения (18.4) подставить эти начальные значения в изображающее уравнение. Тогда окажется, что дополнительные члены, которые появятся в изображающем уравнении от этих начальных значений, и члены, в которые войдут начальные значения возмущающей функции f ( t), взаимно уничтожатся. Однако при этом следует предполагать, что функция l ( t) допускает многократное дифференцирование. [44]
В первом этапе переходного процесса - ДО пробоя Первого искрового промежутка - токи реактора ir0, ira, / rp равны нулю. Так как начальные условия в первом этапе являются нулевыми, то система изображающих уравнений в этом этапе полностью совпадает с соответствующей системой ( 16 - 32) предыдущего примера. [45]