Cтраница 4
Необходимость определения оригинала по изображению возникает значительно чаще, чем обратная задача. Объясняется это тем, что при решении всех функциональных уравнений посредством преобразования Лапласа решается всегда сначала изображающее уравнение, а уже затем для полученного изображения отыскивается оригинал. Задачей определения оригинала по изображению мы подробно занимались в гл. Если методы, указанные там, не приводят к результату, то не остается ничего другого, как удовлетвориться по крайней мере асимптотическим разложением оригинала. [46]
Следовательно, необходимое количество этих начальных значений должно быть задано в качестве начальных условий. Здесь мы опять встречаемся с тем же преимуществом, с которым уже встречались при решении обыкновенных дифференциальных уравнений: начальные значения входят в изображающее уравнение сами собой и поэтому учитываются автоматически. [47]
Отсюда видно, что преобразование исходного уравнения с переменными коэффициентами приводит в общем случае к дифференциальному уравнению относительно изображения так же с переменными коэффициентами. Порядок этого уравнения равен наивысшей степени t, встречающейся в коэффициентах исходного уравнения. Если изображающее уравнение разрешается, то применение одной из теорем разложения или общего метода нахождения оригиналов решает поставленную задачу. [48]