Cтраница 4
Выделим следующие алгоритмы решения: систем алгебраических линейных и трансцендентных ( нелинейных алгебраических) уравнений; задач о собственных значениях и собственных векторах, аппроксимации; интегральных уравнений; задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, систем дифференциальных уравнений явного и неявного вида. [46]
Большое число задач физики и техники приводится к этому виду. Для системы дифференциальных уравнений вида ( 8) разработан особый метод аппроксимации, названный методом усреднения. [47]
Тогда будем говорить, что уравнения ( I.O.I) и (1.0.2) асимптотически эквивале ны ( слабо асимптотически эквивалентны) относительно функции Ц () при t - oo по: а) Ляпунову, если Р - линейное отображение; б) Ншьщкому, если Р - гомеоморфизм; в) Левинсону, если Р - биекция. Эти понятия на множестве F всех дифференциальных уравнений вида ( I.O.I) определяет бинарные отношения. Легко проверить, что они представляют собой отношения эквивалентности. Следовательно, каждое тля них разбивает множество F на классы эквивалентности, которые образуют фактор-множества. Здесь это множество содержит все уравнения вида ( I.O.I), асимптотически эквивалентные между собой в смысле одного из понятий, определенных выше. [48]
Принцип суперпозиции Больцмана применим для всех полимеров, структура которых не зависит от приложенных сил и ие меняется во времени. Ои позволяет описывать линейное вязкоупругое поведение системой дифференциальных уравнений вида: La Z) e, где L и D - линейные дифференциальные операторы по времени. Это выражение эквивалентно описанию вязко-упругого поведения с помощью моделей, состоящих из упругих пружин с различными модулями EI и вязких элементов с вязкостями r t ( рис. IX. Пружинам приписываются механические свойства идеальной упругости - закон Гуна, а вязким элементам - свойства идеально вязкой жидкости - закон Ньютона. [49]
Здесь индекс оо, означающий бесконечность, показывает, что скорость роста измеряется на достаточно большом расстоянии от начала дислокации, в котором она достигает максимальной величины. Строгий вывод выражения для vx был получен решением дифференциального уравнения вида V2 т) - kty - 0 при выборе соответствующих граничных условий. Мы рассмотрим упрощенный вывод [92], который приводит к такому же результату. [50]
Если считать твердыми телами колесные пары, рамы тележек и кузов рельсового экипажа, то тогда каждая тележка состоит из трех твердых тел и расчетная схема включает семь твердых тел. Можно выбрать обобщенные координаты так, что для исследования устойчивости движения получатся две системы дифференциальных уравнений вида ( 1) десятого и шестого порядков. Оказывается, что движение системы, соответствующей рассмотренной расчетной схеме, неустойчиво. Применив сдвиг корней, найдем, что в систему нужно ввести упругие элементы, соединяющие колесные пары с рамой тележки в продольном и поперечном горизон-тал. Новая система имеет 30 степеней свободы. [51]
В тех случаях, когда нельзя найти решение системы дифференциальных уравнений ( 28) в замкнутой форме, разрабатываются методы, позволяющие значительно упростить эти уравнения для последующего исследования, в частности понизить их порядок. Так, например, при изучении движения абсолютно твердого материального тела, состоящего из бесконечного количества точек, заполняющих некоторый объем, система дифференциальных уравнений вида ( 28) должна была бы состоять из бесконечного числа уравнений. Однако в механике установлены приемы, позволяющие полностью описать движение всех точек твердого тела с помощью только шести дифференциальных уравнений не выше второго порядка каждое. [52]