Cтраница 3
Напомним, что в последнем случае система уравнений Эйлера оказывается вырожденной ( имеет порядок, меньший 2тг); например, если x Е R, то дифференциальное уравнение Эйлера второго порядка в регулярных случаях становится конечным. По этой причине нами использован термин вырожденные, хотя он и имеет тот недостаток, что в иных текстах может выступать как синоним выражения не ТИЕ классу задач. [31]
Напомним, что в последнем слз чае система уравнений Эйлера оказывается вырожденной ( имеет порядок, меньший 2п); например, если х Е R, то дифференциальное уравнение Эйлера второго порядка в регулярных слз чаях становится конечным. [32]
Если для световых лучей интеграл ( 18) обращается в минимум, как требует принцип Ферма, то, как известно из вариационного исчисления, лучи должны удовлетворять дифференциальным уравнениям Эйлера. [33]
Можно исключить какие-то т переменных qk, выразив их через остальные переменные, и уменьшить тем самым число степеней свободы до п - т; после этого становятся применимыми дифференциальные уравнения Эйлера - Лагранжа. Однако исключение переменных может оказаться практически трудно выполнимым; кроме того, связи между переменными могут быть даны в таком виде, который затрудняет разделение переменных на зависимые и независимые. [34]
Во второй строке - значения у, определенные Эйлеровым приближенным способом в конечных разностях и, наконец, в третьей - ущ - значения, полученные по способу Ритца, Как видно, сходимость результатов всех трех приемов получилась вполне удовлетворительной, несмотря на то, что приближенная формула степенного полинома, полученная по способу Ритца, по внешнему виду совсем не похожа на ту зависимость, которая была получена в результате точного решения интегрированием дифференциального уравнения Эйлера. [35]
Академик Эйлер в сочинении Общие принципы движения жидкости ( 1755 г.) вывел дифференциальные уравнения равновесия и движения жидкостей, дав общее решение задачи. Из дифференциальных уравнений Эйлера легко может быть получено и уравнение Бернулли, являющееся частным решением этих уравнений. [36]
Обращение в нуль вариации интеграла А требует обращения в нуль вариации и в том случае, когда она записана в новых координатах. Следовательно, дифференциальные уравнения Эйлера - Лагранжа остаются справедливыми и в новой системе отсчета. Функция Лагранжа L и интеграл действия А являются инвариантами преобразования. Мы просто подставляем в них вместо координат qi их выражения через новые переменные / функции L в результате замены переменных, возможно, изменится, но ее численное значение останется прежним. Аналогично остаются неизменными значения интеграла действия А, взятого вдоль кривой С и затем вдоль кривой С. [37]
Академик Эйлер в сочинении Общие принципы движения жидкости ( 1755) вывел дифференциальные уравнения равновесия и движения жидкостей, дав более общее решение данной задачи. В частности, из дифференциальных уравнений Эйлера легко может быть получено уравнение Бернулли. [38]
В инженерной практике широко применяют прямые методы решения задач вариационного исчисления. Это объясняется тем, что дифференциальные уравнения Эйлера лишь п немногих случаях интегрируются в конечном виде. [39]
Приведены краткие сведения о свойствах жидкости и газа, а также изложены основы гидростатики, кинематики, динамики идеальной и реальной жидкости. Решения задач даны на основе системы дифференциальных уравнений Эйлера, Навье - Стокса, Генки - Ильюшина, степенного и логарифмического законов, а также уравнений неразрывности и состояния как жидкости, так и газа. Изложены принципы проектирования газопроводов минимальной массы. Приведена система уравнений, позволяющая установить оптимальные значения диаметра газопровода. [40]
Приведены краткие сведения о свойствах жидкости и газа, а также изложены основы гидростатики, кинематики, динамики идеальной и реальной жидкости. Решения задач даны на основе системы дифференциальных уравнений Эйлера, Навье - Стокса, Генки - Ильюшина, степенного и логарифмического законов, а также уравнений неразрывности и состояния как жидкости, так и газа. Изложены принципы проектирования газопроводов минимальной массы. Приведена система уравнений, позволяющая установить оптимальные значения диаметра газопровода, расстояния между компрессорными станциями и степени сжатия, обеспечивающие минимум стоимости сооружения. [41]
Методы вариационного исчисления обычно используют для решения задач, в которых критерии оптимальности можно представить в виде функционалов, причем решениями являются неизвестные функции. Решение задачи сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений Эйлера. Число уравнений соответствует числу неизвестных функций, определяемых при1 решении оптимальной задачи. Решение уравнений дает необходимые условия экстремума функционала. Иногда используют способы, позволяющее свести исходную вариационную задачу к задаче нелинейного программирования, решать которую проще, че № краевую задачу для уравнений Эйлера. [42]
Их обычно используют для задач, в которых критерии оптимальности можно представить в виде функционалов и решениями являются неизвестные функции. Процесс выбора оптимального варианта сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений Эйлера. [43]
Для консервативных систем статический и энергетический критерии эквивалентны. Дифференциальные уравнения устойчивости, получающиеся при использовании статического метода, являются дифференциальными уравнениями Эйлера вариационной задачи, к которой приводит энергетический критерий. [44]
Применение точных методов, связанных с интегрированием уравнения Эйлера, ограничивается следующими соображениями. Интегрирование в замкнутом виде нелинейного дифференциального уравнения, которым в общем случае является дифференциальное уравнение Эйлера, часто представляет большие сложности. Кроме того, определение постоянных интегрирования из граничных условий также представляет трудности, так как постоянные интегрирования часто входят в решение нелинейным образом. В тех случаях, когда по условиям работы механизм должен удовлетворять граничным условиям, превышающим число постоянных интегрирования уравнения Эйлера, применение точных методов невозможно. В этих случаях приходится применять приближенные методы решения поставленной задачи оптимизации. [45]