Cтраница 3
Когда среди корней характеристического уравнения линеаризированной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения находятся такие корни, вещественные части которых положительны, невозмущенное движение неустойчиво. [31]
Изучение поведения некоторых функций на решениях системы дифференциальных уравнений возмущенного движения с целью установления свойств самих этих решений и составляет содержание второго метода Ляпунова. Математически это сводится к замене переменных, позволяющей привести систему к известному или удобному для изучения виду. [32]
Ее производная по времени, вычисленная в силу дифференциального уравнения возмущенного движения (2.50), определяется правой частью равенства (2.51), Если Л - 0, то производная V будет определенно-отрицательной функцией х и, следовательно, на основании теоремы Ляпунова движение будет асимптотически устойчиво. Если же R - - х О, то производная Т7 будет определенно-положительной функцией, и на основании теоремы Ляпунова о неустойчивости ус-тановишееся движение будет неустойчиво. [33]
Для того чтобы уяснить причины этого явления, составим дифференциальные уравнения возмущенного движения и определим условия устойчивости установившегося режима. [34]
Во введении приводились примеры динамических систем, исследование которых требует решения дифференциальных уравнений возмущенного движения, вызванного случайными силами, изменяющимися во времени. Эти задачи относятся к динамическим случайным явлениям, т.е. к случайным процессам. Следует отметить, что при изучении случайных процессов исследуют не свойства отдельных случайных функций Xj ( t), характеризующих процесс, а свойства всего множества функций в целом. Это дает возможность при анализе движения механической системы, находящейся под воздействием случайных возмущений, исследовать ее поведение не по отношению к какому-либо одному воздействию, а по отношению к целой совокупности возможных случайных воздействий. [35]
В настоящей книге в краткой форме излагаются методы решения соответствующей системы дифференциальных уравнений возмущенного движения, акцентируется внимание на качественном анализе полученных результатов. Приводимые решения являются аналитическими и относятся к заданным областям начальных параметров, определяющих упрощенные модели динамической устойчивости. Такие решения имеют весьма большое значение для инженерной практики. [36]
Второй метод А. М. Ляпунова отличается тем, что при его применении не приходится интегрировать дифференциальные уравнения возмущенного движения. [37]
Наиболее простое доказательство теоремы Лагранжа получается из общей теоремы Ляпунова об устойчивости: если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с F, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво. [38]
При решении задач на устойчивость движения в этом пункте будет применен прямой метод интегрирования дифференциальных уравнений возмущенного движения. Этот метод наиболее эффективен по своим результатам, однако его применение ограничено небольшим числом возможных приложений ввиду математических трудностей, связанных с получением решения в замкнутом виде. [39]
Отметим, что, так жо как и в первом примере, оба интеграла дифференциальных уравнений возмущенного движения получены из общих соображений, без помощи самих уравнений. Конечно, второй интеграл (2.39) вытекает непосредственно из третьего уравнения (1.32), а первый интеграл может быть получен путем комбинации этих уравнений, но этот путь требует не только составления самих уравнений (1.32) или (1.33), но и умения получить из них необходимые интегралы. [40]
Для этого достаточно внести уравнение многообразия ( если его можно написать в явном виде) в дифференциальные уравнения возмущенного движения. [41]
Полагая центр масс стенок бака совпадающим с центром масс невозмущенного объема жидкости в баке, получим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения бака с жидкостью в плоскости Оху. [42]
Два векторных равенства ( 14) и ( 15) и являются, по сути дела, дифференциальными уравнениями возмущенного движения. [43]
Если возникает вопрос о контроле устойчивости соответствующего основного режима движения, то при гладкой характеристике трения задача допускает линеаризацию и проблема сводится к исследованию знака того члена дифференциального уравнения возмущенного движения, который отражает действие сил трения. [44]
Следует отметить, что применение второго метода Ляпунова к задачам синтеза систем получило более широкое распространение, так как не было связано напрямую с интегрированием заданных систем дифференциальных уравнений возмущенного движения. Применение второго метода Ляпунова требует выполнения требований существования и единственности решений системы уравнений возмущенного движения, а также их неограниченной продолжаемости при t - со, что является необходимым условием устойчивости по Ляпунову. [45]