Cтраница 3
С новым членом, добавленным Максвеллом в уравнение IV, мы смогли записать полевые уравнения в терминах А и ф в форме, которая проста и сразу же позволяет выявить существование электромагнитных волн. Для многих практических целей еще будет удобно использовать первоначальные уравнения в терминах Е и В. [31]
Это придает связанным уравнениям (9.98) некоторую интуитивную привлекательность, В самом деле, полевые уравнения с такой заменой ферми-поля на с-числовую дира-ковскую волновую функцию часто вводились с самого начала в квази классических вычислениях, особенно при создании моделей адронов. Наше обсуждение показывает уместность таких уравнений в контексте систематического квазиклассического приближения к исходной квантовополевой теории. [32]
При рассмотрении компонент gnv как потенциалов (15.1) оказывается полевым уравнением и выглядит как обычное полевое уравнение в том смысле, что оно является уравнением второго порядка, так как вторые производные входят в (14.4) через символы Кристоффеля. Уравнение (15.1) отличается от обычных полевых уравнений тем, что оно нелинейно, существенно нелинейно. Эйнштейновские уравнения весьма сложны, находить их точные решения трудно. [33]
Включение в лагранжиан членов, явно зависящих от потенциала, приводило к нелинейности полевых уравнений, решение которых можно было, в частности, интерпретировать как своеобразные сгустки поля и вычислять их массы и заряды на основе только полевых величин. [34]
Твисторная функция дает, следовательно, очень простой способ представления и образования решений полевых уравнений. Это преимущество до некоторой степени дискредитируется довольно непонятной связью между областью & ( 2) 12) и областью определения пространственно-временного поля, а также очевидной неединственностью этой области ( например, под действием группы SU ( 2 2) область U [ U из (2.70) преобразуется в другую, столь же подходящую область) и неединственностью твисторной функции даже в том случае, когда область фиксирована. Рассмотрим эту неединственность твисторной функции. Заметим сначала, что если бы функция / была голоморфной на всем множестве f / i, то результат интегрирования (2.63) или (2.64) был бы равен нулю, поскольку ( см. рис. 4) контур можно было бы стянуть в точку в пределах области голоморфности. [35]
Последовательность (6.7.49) есть так называемое разрешение пучка % А Е, или разрешение безмассовых полевых уравнений. [36]
Современные исследования уравнений динамики дефектов [33, 37, 38] обнаруживают заметное отличие ее полевых уравнений от полевых уравнений классических континуальных теорий: для полевых уравнений динамики дефектов в отличие от классических континуальных теорий допускается наличие нетривиальной абелевой калибровочной группы. Такое богатство связано со взаимовлиянием трех различных явлений: геометрического отклика тела на систему нагрузок, эволюцию дислокаций в теле и эволюции дисклинаций в теле. К сожалению, принятая формулировка динамики дефектов в трех пространственных - - одном временном измерениях не позволяет в явном виде разделить эти три существенно различные аспекты теории. Аналогичная ситуация возникает при формулировке электродинамики в трех пространственных - f - одном временном измерениях, когда полученные полевые уравнения дают смешанное описание различных эффектов. Так как формулировка электродинамики в четырехмерном пространстве - времени гораздо легче поддается анализу и систематизации, по аналогии можно надеяться, что соответствующая переформулировка динамики дефектов в четырехмерном пространстве - времени также приведет к упрощениям и разделению динамических структур, входящих в динамическое описание. [37]
Очень интересно обнаружить столь много подобных взаимосвязей между энергией-импульсом, моментом импульса, полевыми уравнениями Эйнштейна и теорией твисторов, хотя это и не дает полного удовлетворения. Истинная роль и значение теории твисторов в данном контексте пока что остаются проблематичными. Однако существенно спинорный характер подхода Виттена и операций, связанных с твисторами двумерной поверхности из § 9, убедительно свидетельствуют в пользу существования пока еще неясной, но глубокой связи между спинорными представлениями и понятиями энергии и импульса. В общей теории относительности такие трансляционные симметрии могут отсутствовать, и тут, по-видимому, нужны спиноры, чтобы выявить более глубокие свойства этих физических величин, имеющих фундаментально важное значение. [38]
Во-вторых, необходимо понимать, что наличие такой калибровочной группы указывает на изначальную неопределенность полевых уравнений (5.1) и (5.2), которая может привести к неверным заключениям. Простейшая ситуация, в которой это можно заметить, возникает при вопросе: могут ли полевые уравнения описывать дефекты, которых нет в действительности. Для ответа на него рассмотрим тело без дефектов. [39]
Это приводит нас к этапу, когда общих методов получения всех локализованных статических решений данных полевых уравнений не существует. Тем не менее некоторые решения, но, конечно, не все, могут быть получены для класса таких лагранжианов [291 ] с использованием метода пробных функций. [40]
Отсюда мы получаем, что прошлое и будущее играют существенно различные роли в квантованных полевых уравнениях -, нет никакой подстановки, которая оставила бы эти уравнения инвариантными при изменении направления времени. Мне кажется, что таким образом мы пришли к выводу, необыкновенно важному для физики. [41]
Однако в силу гомеоморфности групп SO ( 3) и SU ( 2)) полевые уравнения DG Q все еще являются уравнениями свободного поля Янга - Миллса ( напомним, что матрица связности Г, используемая при построении внешней кова-риантной производной D, является матрицей 1-форм, определяющих связность на SO ( 3)); Поэтому мы можем непосредственно использовать известные вещественнозначные решения уравнений свободного поля Янга - Миллса, отказываясь от условия бездефектности исходной конфигурации. [42]
Формула (5.61) выражает амплитуды вероятностей всевозможных квантовых процессов во внешнем электромагнитном поле через асимптотики решений классических полевых уравнений. Появление символа бр g m в числителе (5.61) означает сохранение заряда в процессах рождения и рассеяния частиц. [43]
Наконец, отметим, что любые девять функций ( / ф), удовлетворяющие девяти полевым уравнениям (4.7.42) и 6 3 граничным условиям (4.7.43) и (4.7.44), будут удовлетворять полевым уравнениям (4.7.41) тождественно в каждой точке тела. [44]
В приближениях второго и третьего порядков условия интегрируемости уравнений (4.2.22) - (4.2.24) удовлетворяются тождественно как следствие полевых уравнений и уравнений баланса. Поэтому в приближении третьего порядка достаточно удовлетворить уравнениям баланса момента импульса (4.2.20), в то время как в приближении второго порядка единственным требованием является симметричность тензора упругих напряжений Пиолы - Кирхгофа. При отсутствии дисклинаций условия интегрируемости для уравнений (4.2.23) всегда выполняются; они эквивалентны уравнениям (4.2.11), которые уже были решены в предыдущем приближении. [45]