Cтраница 3
Как уже неоднократно отмечалось, о точности выбранной аппроксимирующей функции можно судить, сравнивая между собой решения, полученные с помощью одной и той же аппроксимирующей функции, но с применением различных моментных уравнений. [31]
Напомним, что с помощью одной и той же аппроксимирующей функции можно построить бесконечное число различных систем моментных уравнений, получаемых различным выбором системы функций от скоростей, на которые умножается уравнение Больцмана при построении моментных уравнений. [32]
Если бы найденная при выбранном конечном числе определяющих моментов наиболее вероятная функция распределения являлась истинной функцией распределения задачи, то, очевидно, она должна была бы удовлетворять уравнению Больцмана точно, а не в среднем - конечному числу моментных уравнений. [33]
Однако опыт исследования моментных уравнений при отсутствии электрических эффектов [10, 11] показал, что выбор г согласно (2.8) является оптимальным. В результате описанной процедуры уравнения (2.6) сохраняют свой вид, но величина г, согласно (2.8), уже определенным образом зависит от искомых моментов. Система (2.6) относительно Qfco ( k 0, 1 2 3) остается замкнутой, но становится нелинейной. [34]
При этом в моментных уравнениях также отделится поперечная переменная, и для каждого отдельно взятого члена разложения получится система дифференциальных уравнений без частных производных. [35]
Применим метод моментов с двухсторонней максвелловской аппроксимирующей функцией (2.73) к модельному уравнению. Так как у первых пяти моментных уравнений правая часть обращается в нуль как для точного, так и для модельного уравнения Больцмана, то соотношения (2.74) справедливы и в рассматриваемом случае. [36]
Общая идея так называемых моментных методов состоит в том, чтобы удовлетворить только конечному числу уравнений переноса, или моментных уравнений. Таким образом, можно выбирать f до некоторой степени произвольно и с помощью моментных уравнений доопределить те детали, которые остались неопределенными. [37]
Общая идея, лежащая в основе так называемых моментыых методов, состоит в замыкании системы и решении только конечного числа уравнений переноса, или моментных уравнений. Это означает, что / можно выбрать с некоторой степенью произвола и затем при помощи моментных уравнений определить детали, которые мы не зафиксировали. [38]
Для исследования процессов укрупнения и смешения в водонефтя-ных эмульсиях теоретически можно использовать любые методы, разобранные в предыдущей главе, с соответствующим ограничением на вид ядра коалесценции. Однако с точки зрения вычислений и последующего анализа результатов наиболее прост метод, основанный на непараметрическом доопределении системы моментных уравнений. [39]
Кош аппроксимирующая функция, содержащая N моментов, является точным рспкчнк М уравнения Волъцмапа, то, очевидно, решения люоих cnc U M, составленных из произнольно выбранных N уравнений моментов, тождественны. Поэтому, чем точнее выбранная функция аппроксимирует точное решение уравнения Больцмана, тем меньше должны расходиться между собой решения различным образом выбранных систем моментных уравнений. [40]
Если частные коэффициенты обмена (1.3), (1.4) вполне определяются функцией рассеяния У ( § г, ), то функционалы (1.6) вычисляются только после нахождения / ( 7) - При решении уравнения Больцмана методом моментов ( см. разд. VII) равенства (1.6) связывают коэффициенты р и q с макропараметрами, через которые представлена функция распределения, и превращаются в граничные условия для моментных уравнений. [41]
Очевидно, что добавление к системе третьего уравнения сохранения, уравнения энергии, не улучшит дела, точно так же как добавление любого уравнения из оставшегося счетного множества моментных уравнений. [42]
Для аппроксимирующей функции типа (2.7) или (4.4), приспособленной к граничным условиям и дающей точное решение уравнения Больцмана в свободномолекулярном пределе, получающаяся граничная задача является корректной для соответствующих этой функции моментных уравнений независимо от их выбора. При этом, конечно, предполагается, что при заданных микроскопических граничных условиях уравнение Больцмана имеет решение и что аппроксимирующая функция не вносит в интеграл столкновений особенностей, несвойственных этому интегралу. [43]
Однако уравнения, получающиеся в методе дискретных координат, всегда обладают простым линейным дифференциальным оператором, в то время как в методе моментов, как правило, получаются квазилинейные уравнения. В методе дискретных координат не возникает трудностей с установлением граничных условий для получающихся уравнений ( ср. Правые же части моментных уравнений часто ( особенно для максвелловских молекул) проще, чем в методе дискретных скоростей. В обоих методах, в принципе, могут быть использованы одни и те же аппроксимирующие функции. [44]
Руководствуясь этим правилом, а также сформулированными в предыдущей главе условиями осуществимости безмоментного состояния в оболочке, можно всегда установить, допустим ли указанный выше прием приближенного определения частного решения или нет. Так, для оболочек с прерывными ( или хотя бы быстро изменяющимися) радиусами кривизны или толщиной и для оболочек, нагруженных поверхностными силами, изменяющимися достаточно быстро, заимствовать частное решение из безмомент-ной теории нельзя. Погрешность, обусловленная заменой частного решения моментных уравнений безмоментным решением, может быть всегда оценена путем непосредственной подстановки этого решения в моментные уравнения, как это было показано выше на примере цилиндрической пластины. Впоследствии мы неоднократно убедимся, что этот прием допустим во многих случаях, так что определение частных решений уравнений теории оболочек обычно не доставляет затруднений и сводится к кругу вопросов, разобранных в предыдущей главе. [45]