Cтраница 4
Важной особенностью спектрального метода является возможность его обобщения на двумерные и трехмерные случайные поля, не поддающиеся описанию при помощи соотношений теории марковских процессов. Кроме того, гипотеза о гауссовском характере спектров исследуемых процессов снимается при вариационном методе решения нелинейных задач. Сочетание вариационного подхода со спектральным методом вывода моментных уравнений будет продемонстрировано ниже на конкретном примере. [46]
Спектральное представление типа (4.57) может быть использовано для составления моментных соотношений в нестационарных нелинейных задачах статистической динамики. U ( со) обладают свойствами гауссовских функций. Как и в стационарных задачах, вывод моментных уравнений основан на операции свертывания случайных спектров. [47]
Использование этих методов для оценки параметров СДУ ограничивается лишь случаями, когда известна плотность распределения ( либо условная плотность) как функция параметров системы и ее входных и выходных сигналов. Исключение составляет модификация ММ, в которой параметры СДУ определяются из уравнений для статистических моментов, для построения которых знание указанных выше функций не обязательно. Однако при применении ММ, когда число оцениваемых параметров меньше уравнений для моментов не все моментные уравнения используются для оценки параметров СДУ. В свою очередь в GMM учитываются все моментные уравнения ( условия), однако для их построения для параметрической идентификации СДС требуется знать соответствующие плотности распределения. [48]
Моментные уравнения, получаемые с помощью аппроксимирующих функций (2.7) или (4.4), являются в общем случае неоднородными квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Зависящая от интеграла столкновений неоднородная часть уравнений представляет собой алгебраическую функцию искомых моментов. Тип системы уравнений, а следовательно, и характер соответствующей этой системе граничной задачи, очевидно, определяются дифференциальными частями моментных уравнений, получающихся из дифференциального оператора уравнения Больцмана. Очевидно, что дифференциальная часть моментных уравнений одинакова при любых числах Кнудсена. Следовательно, входящие в нее моменты должны точно удовлетворять любой системе однородных ( без интегральной части) моментных дифференциальных уравнений, полученных с помощью этой аппроксимирующей функции. При этом граничные значения моментов выбираются так, чтобы аппроксимирующая функция точно удовлетворяла микроскопическим граничным условиям. Кнудсена) справедлива та же постановка граничной задачи, что обосновывает сделанные выше утверждения. [49]
Руководствуясь этим правилом, а также сформулированными в предыдущей главе условиями осуществимости безмоментного состояния в оболочке, можно всегда установить, допустим ли указанный выше прием приближенного определения частного решения или нет. Так, для оболочек с прерывными ( или хотя бы быстро изменяющимися) радиусами кривизны или толщиной и для оболочек, нагруженных поверхностными силами, изменяющимися достаточно быстро, заимствовать частное решение из безмомент-ной теории нельзя. Погрешность, обусловленная заменой частного решения моментных уравнений безмоментным решением, может быть всегда оценена путем непосредственной подстановки этого решения в моментные уравнения, как это было показано выше на примере цилиндрической пластины. Впоследствии мы неоднократно убедимся, что этот прием допустим во многих случаях, так что определение частных решений уравнений теории оболочек обычно не доставляет затруднений и сводится к кругу вопросов, разобранных в предыдущей главе. [50]
В различных ситуациях может оказаться предпочтительнее тот или иной подход. При дифференциальном подходе получающиеся дифференциальные уравнения различны для различных аппроксимирующих функций и при различном выборе функций ф (), используемых для построения моментных уравнений. Для построения корректной вычислительной схемы необходимо исследование свойств ( отыскание характеристик) сложных систем дифференциальных уравнений для каждой аппроксимирующей функции. [51]