Cтраница 2
Тогда оператор Урысона А с ядром K ( t, s, и) дей - СШвует из La в L0 и вполне непрерывен. [16]
Тогда оператор Урысона (7.6) определен на конусе К неотрицательных функций пространства Lp; значения его принадлежат Lp, формула (7.16) определяет сильную производную Фреше оператора (7.6) в точке 0 по конусу К. [17]
Тогда интегральный оператор Урысона А с ядром K ( t, s, и) действует из пространства La в пространство Lp и непрерывен. [18]
Рассмотрим вначале оператор Урысона в пространстве С непрерывных на Q функций. Пусть x ( t) неотрицательна и не равна тождественно нулю. [19]
Эта теорема доказана Урысоном. Александров и Хопф [1], стр. [20]
Лемма Урысона установлена Урысоном [1925]; модификации его рассуждений иногда используются для построения непрерывных вещественных функций ( см. упр. Работа Урысона содержит также теорему 1.5.16. Теорема 1.5.15 была доказана Тихоновым [1925]; доказательство леммы 1.5.14 есть также одно из стандартных топологических рассуждений ( ср. [21]
Ряд теорем теории размерности Урысона - Menger a обобщается на произвольные метрические пространства со II аксиомой счетности. Обобщается одна теорема П. С. Александрова о возможности представить каждое компактное метрической пространство как однозначный и непрерывный образ нульмерного линейного множества. [22]
Приведем пример нелинейного оператора Урысона с неотрицательным ядром, который не обладает свойством регулярности. [23]
Теорема 19.6. Пусть оператор Урысона А с ядром K ( t, s, и) действует из La в L ( 0 а со, 0 5С1) и регулярен. [24]
Теорема 19.7. Пусть оператор Урысона А действует из La в Ly где 0 а сю, 0 р 1, и регулярен. [25]
Теорема 19.8. Пусть оператор Урысона Ас неотрицательным ядром K ( t, s, и) действует из La в La ( Q a, Р - 1) и ограничен на каждом шаре. [26]
Теорема 19.10. Пусть оператор Урысона А с ядром К ( t, s, и) действует из La в L ( 0; а со, 0 р 1) и ограничен на каждом шаре. [27]
Допустим, что оператор Урысона не действует в пространстве С или его по каким-либо соображениям неудобно рассматривать в С. В этом случае пространства, в которых можно рассматривать оператор Урысона, определяются характером нелинейности функции k ( t, s, и) по переменной и. Если эти нелинейности существенно нестепенные, например экспоненциальные, то приходится применять пространства Орлича. [28]
Исследование положительных решений оператора Урысона, ядро которого линейно зависит от параметра. [29]
О положительных решениях уравнения Урысона, ядро которого нелинейно относительно параметра. [30]