Cтраница 4
Попытка воспроизвести Урысона обычно не проходит. Несколько строчек определения, а не получается. Сложные задачи решаются, проблемы - не поддаются. Тут как раз и выявляется, для какой надобности человека задумал Бог. Самые большие математики создают новые понятия, обеспечивая работой тысячи коллег и последователей. [46]
Таким образом, их комбинация f есть непрерывное отображение. По теореме Титце - Урысона f продолжается до отображения F: X - - R. Легко установить, что множества Ui F - l ( ( i - 1 / 3, t 1 / 3)) обладают требуемыми свойствами. Мы завершим этот параграф предложением, в котором даются условия, при которых комбинация отображений замкнута или открыта. [47]
R, лежащее в основании теории функций, играет большую роль и в общей топологии. Здесь прежде всего стоит отметить Урысона лемму, теорему Б pay эра - Урысона о продолжении непрерывных функций с замкнутых подмножеств нормальных пространств, определение А. Н. Тихоновым вполне регулярных пространств, Вейершгпрасса - Стоуна теорему. Эти н другие исследования привели к созданию теории колец непрерывных функций, методы к-рой оказались достаточно плодотворными в общей топологии. [48]
Условия ( MU1) - ( MU4) сопоставляют каждому регулярному пространству X число ind J, являющееся либо целым числом - 1, либо бесконечным числом оо. Число indX называется размерностью Менгера - Урысона или малой индуктивной размерностью пространства X. Легко проверяется, что если пространства X и У гомеоморфны, то ind ind У. [49]
В курсах анализа обычно доказывается, что непрерывную функцию, определенную на замкнутом множестве, можно продолжить с сохранением непрерывности ( а также верхней и нижней границ ее значений) на все пространство. Это утверждение называется теоремой Титце - Урысона и играет важную роль в анализе. Для наших дальнейших целей удобно несколько обобщить этот результат. [50]
Выведите следствие 3.6.8 из следствия 3.6.4 и, применив упр. J ( b), получите теорему Титце - Урысона. [51]