Cтраница 4
Отметим также, что условие а) называется условием Лежандра, а условие в) - усиленным условием Лежандра, условия б) и г) называются условиями Якоби. [46]
Через точку В ( а, Ь) проходят две параболы этого пучка. На дуге одной из них L лежит точка А сопряжения с точкой А, на другой же L2 сопряженной точки нет, и следовательно, на дуге L % условие Якоби выполнено и на этой дуге параболы может реализоваться экстремум. [47]
Такие же линии допускаются и в качестве кривых сравнения. Выводятся необходимые условия, связывающие значения координат и углы наклона дуг экстремалей в точках р, р, аналогичные условиям Эрдманна. Путем построения поля экстремалей доказывается существование сильного экстремума при выполнении условия, соответствующего условию Якоби, и положительности построенной для рассматриваемого случая функции Вейерштрасса. [48]
Пусть У ( Х, о) есть некоторая экстремаль нашего пучка и пусть эта экстремаль касается в точке с абсциссой х ХУ огибающей пучка. Из предыдущих рассуждений вытекает, что уравнение и0 ( лг) 0 дает абсциссу дг, упомянутой выше точки. Мы можем, таким образом, сказать, что усиленное условие Якоби, о котором мы говорили выше, имеет тот геометрический смысл, что промежуток r0, x не содержит точек, сопряженных с начальной точкой экстремали. [49]
Под решением мы здесь подразумеваем й-минимизирующую кривую. В дальнейшем, в соответствии с известным высказыванием Гильберта, мы расширим понятие решения, но это не повлияет на приведенные выше теоремы. Заметим, что, кроме (51.2), имеются и другие необходимые условия, не основанные на первой вариации. Автоматически выполняется условие Вейерштрасса, так как все точки эллиптические. В следующей главе мы рассмотрим параметрическую форму условия Якоби, что соответствует вопросам, изученным в гл. [50]
Расчеты крутого профиля переходной зоны затруднительны в связи с необходимостью использования вместо изотермы плоского слоя П ( h) более сложного выражения для поверхностных сил. Кроме того, трудно количественно оценить и значения критической длины / к, так как ход изотерм в области неустойчивости изучен недостаточно. Кривая / соответствует идеализированному профилю мениска, не возмущенному вплоть до его пересечения с плоской равновесной пленкой. Пологий профиль переходной зоны ( кривая 2) отвечал бы решению уравнения ( 4), кривая 3 - образованию ступеньки при нарушении условия Якоби. [51]