Cтраница 2
Таким образом, в пределе получаем стационарный белый шум, который образуется в результате бесконечно частой последовательности пачек электронов, имеющих конечное м.о. и бесконечную дисперсию числа электронов в пачке, а также бесконечно малую длительность импульса от воздействия пачки электронов. [16]
Подчеркнем вместе с тем, что фаза, рассматриваемая как случайный процесс в интервале ( - оо, со), оказывается существенно нестационарным процессом с бесконечной дисперсией ( § б гл. [17]
В итоге распределение величины х вновь оказывается распределением Коши, что и подтверждает несправедливость в данном случае центральной предельной теоремы. Причиной этого является бесконечная дисперсия исходного распределения. [18]
Теперь было бы интересно изучить последовательную статистику хаотических систем. Имеют ли они также бесконечную дисперсию и конечное среднее. Они проявляют распределения с толстыми хвостами при добавлении шума, но одного этого факта недостаточно для объяснения рыночного анализа, который мы уже провели. [19]
В этом месте мне необходимо привести некоторые оговорки. Когда я заявляю, что рынок характеризуется бесконечной дисперсией, я не имею в виду, что дисперсия действительно бесконечна. Как и во всех фрактальных структурах, здесь, в конечном счете, есть интервал времени, в котором фрактальное масштабирование перестает работать. В предыдущих главах я говорил, что деревья представляют собой фрактальные структуры. Мы знаем, что ветви дерева не становятся бесконечно малыми. Аналогично, для рыночных прибылей мог бы существовать объем выборки, где дисперсия, действительно, становится конечной. [20]
Случайные функции типа белого шума представляют собой весьма сильную абстракцию реальных процессов. Широкополосный процесс ( /) с постоянной спектральной плотностью обладает бесконечной дисперсией и бесконечной большой мощностью, что противоречит действительности. Для описания фактически протекающих случайных процессов должны использоваться модели, статистические свойства которых могут быть воспроизведены в эксперименте. К таким моделям относят случайные процессы с дробно-рациональными спектральными плотностями, для которых система (5.8) является невырожденной. Уравнения (5.8) описывают некоторый линейный фильтр, на выходе которого формируется реальный процесс. [21]
Фама продемонстрировал параметрические методы поиска эффективной границы для стабильно распределенных ценных бумаг ( распределения которых обладают одинаковым характеристическим показателем А), когда прибыли компонентов зависят от одного индекса основного рынка. Существует и другая работа, посвященная выведению эффективной границы в условиях бесконечной дисперсии прибылей компонентов портфеля. Эти методы не рассматриваются в данной книге, но для заинтересованных читателей есть ссылки на соответствующие статьи. О распределении ТТарето вы сможете узнать из приложения В. Несколько слов о бесконечной дисперсии сказано в разделе Распределение Стьюдента в приложении В. [22]
В результате мы приходим к распределению Коши или Брейта-Вигне - ра, которое, как мы уже видели, не имеет среднего и дисперсии, если оно не обрезано. Поскольку на практике это распределение всегда обрезано, не следует беспокоиться о длинных хвостах, которые приводят к бесконечной дисперсии, а достаточно проверить, верно ли поведение q ( а) при малых значениях а. Если это поведение приблизительно верно, то функция распределения имеет форму Брейта-Вигнера, и это позволяет описывать как широкие, так и узкие резонансы, используя одну и ту же общую форму. [23]
Я) - белый шум, а / ( t, К) для различных значений параметра Я представляют собой координатные функции. Укажем, что белый шум V ( Я) представляет собой любую случайную функцию с некоррелированными значениями, бесконечной дисперсией и конечной дисперсией интеграла этой функции при любой конечной области изменения аргумента. [24]
Как уже было сказано, дисперсия белого шума равна бесконечности. Для создания такого случайного процесса, когда, например, случайная сила непрерывно получала бы случайные приращения с бесконечной дисперсией, необходима бесконечная мощность. Поэтому понятие белого шума является математической абстракцией. Однако эта абстракция очень полезна при решении многих прикладных задач, где используются обобщенные функции. [25]
Эта взаимосвязь здесь постулируется без доказательств, но она является интригующей и соответствует фрактальной гипотезе рынка. Кроме того, она соответствует фрактальной структуре других систем; обладающих локальной случайностью, характеризующейся ARCH; и обладающих глобальной структурой безусловной бесконечной дисперсии, согласующейся с фрактальными распределениями. Мы оставим формальное доказательство для будущего исследования. [26]
Как бы то ни было, нам предстоит теперь воплотить скейлинговый принцип в действительность с тем, чтобы получить результат, отличный от броуновского движения. Для достижения этой цели я сделал весьма радикальный шаг: допустил, что приращение пХ ( t d) - пХ ( t) имеет бесконечную дисперсию. До выхода в свет моих работ никто особо не задумывался при написании фразы обозначим дисперсию через V. О предшествующем этой фразе допущении, что величина V конечна, даже не упоминалось... [27]
Те читатели, кто продирался сквозь настоящее эссе с самого начала, я уверен, давно свыклись с возможностью выбора между очень большим и бесконечным, однако те, кто открыл книгу именно на этом месте, возможно, пребывают в ином расположении духа, - в ином расположении духа пребывали, как выяснилось, и мои читатели в 1962 г. Всякому, кто получил обычное статистическое образование, бесконечная дисперсия представляется в лучшем случае чем-то жутковатым, а в худшем - эксцентричным. В действительности же, если бесконечное и отличается чем-то от очень большого, то, судя по выборочным моментам, эту разницу заметить невозможно. Например, переменная плотности Коши 1 / тг ( 1 ж2) почти наверное конечна, однако имеет бесконечную дисперсию и бесконечное математическое ожидание. Таким образом, вопрос о выборе между переменными с очень большой и бесконечной дисперсией не следует решать a priori, решение должно зависеть исключительно от того, какой из вариантов окажется более удобен в данном конкретном случае. [28]
Несмотря на улучшение скорости обучения, даваемое машиной Коши по сравнению с машиной Больцмана, время сходимости все еще может в 100 раз превышать время для алгоритма обратного распространения. Отметим, что сетевой паралич особенно опасен для алгоритма обучения Коши, в особенности для сети с нелинейностью типа логистической функции. Бесконечная дисперсия распределения Коши приводит к изменениям весов неограниченной величины. Далее, большие изменения весов будут иногда приниматься даже в тех случаях, когда они неблагоприятны, часто приводя к сильному насыщению сетевых нейронов с вытекающим отсюда риском паралича. [29]
Во-первых, когда 1 а 2, дисперсия становится неопределенной, или бесконечной. Следовательно, дисперсия выборки является важной информацией только в том случае, если система представляет собой случайное блуждание. С другой стороны, бесконечная дисперсия возможна и, быть может, типична. Если а не равно 2, дисперсия выборки как мера рассеяния или риска практически не несет никакого смысла. [30]