Cтраница 3
Процесс розового шума характеризуется функциями вероятности, которые не только имеют бесконечную дисперсию, но также и бесконечное среднее; то есть не существует математического ожидания, к которому можно возвратиться. В контексте того представления, что рыночные прибыли являются черным шумом, это имеет смысл. Если рыночные прибыли имеют бесконечную дисперсию, то среднее дисперсии курсов акций само должно быть бесконечным. Это все является частью одной большой структуры, и эта структура имеет глубокие последствия для опционных трейдеров и других индивидуумов, покупающих и продающих волатильность. [31]
Так как обычно всегда известно, ограничена или не ограничена область значений, нет серьезных ограничений рассматривать только распределения с неограниченной областью значений. Предположим, что соответствующее распределение нормально, с неизвестной ( но ненулевой) примесью событий, распределенных в соответствии с распределением Коши. Тогда среднее выборки имеет бесконечную дисперсию, но медиана ( в соответствии с табл. 8.5) имеет по меньшей мере 64 % - ную эффективность независимо от величины примеси. В общем случае для распределений с неограниченной областью значений медиана выборки служит более устойчивой оценкой расположения, чем среднее выборки. Ниже мы обсуждаем некоторые другие оценки, которые даже более устойчивы для этого класса распределений. [32]
Форма этих фрактальных распределений в сравнении с нормальным распределением характеризуется высоким пиком и толстыми хвостами. Толстые хвосты имеют место, поскольку крупное событие происходит в результате процесса усиления. Тот же самый процесс вызывает бесконечную дисперсию. Хвосты никогда не стремятся к асимптоте у 0 0, даже в бесконечности. Кроме того, когда происходят большие события, они имеют тенденцию быть резкими и прерывистыми. Таким образом, фрактальные распределения имеют еще одну фрактальную характеристику: прерывистость. [33]
Каждый инвестиционный горизонт также является случайной функцией с конечной дисперсией, зависящей от предыдущей дисперсии. Поскольку риск в каждом инвестиционном горизонте должен быть одинаковым, при внесении поправки на масштаб форма частотного распределения прибылей одинакова. Однако общая, глобальная статистическая структура рынка имеет бесконечную дисперсию; долгосрочная дисперсия не стремится к устойчивому значению. [34]
Устойчивое распределение Парето ( устойчивый паретиан) характеризует тенденция к трендам и циклам, внезапным и прерывистым изменениям; оно также может быть несимметричным. Однако дисперсия этих распределений бесконечна, или неопределенна. Кутнер ( 1964Ь) и Шиллер ( Shiller, 1989) признали концепцию бесконечной дисперсии неприемлемой, выдвинув требование переформулировать существующую теорию в терминах нормального распределения, чтобы не стать перед лицом возможности серьезного подрыва результатов сорокалетних исследований экономических рынков и рынков капитала. Кутнер ( 1964а), критикуя статью Мандельброта, утверждал, что мы не можем быть уверены в том, насколько измерения хвостов являются доказательствами того что распределение не представляет собой простого лептоэксцессиого гауссовского распределения. Кутнер напомнил, что если Мандельброт был прав, то почти все наши статистические инструменты атрофированы. Он чувствовал, что требуется больше оснований для того, чтобы отправить сотни работ в макулатуру. Устойчивые распределения Парето теперь могут быть названы фрактальными распределениями; мы будем подробно рассматривать их в гл. [35]
Что касается средней фазы, то эта величина, как и средний квадрат флуктуации фазы ( а следовательно, и корреляционная функция), не имеет для случая турбулентного спектра Ф е четкого физического смысла. Спектр (1.86) формально не ограничен снизу по волновым числам, что приводит к бесконечной дисперсии флуктуации фазы из-за расходимости соответствующих интегралов. Если же пытаться вычислить какую-либо величину, существенно зависящую от крупномасштабных компонент спектра турбулентности, то необходимо использовать тот или иной модельный метод учета внешнего масштаба LQ ( см., например, гл. [36]
Как и в машине Коши, если изменение веса ухудшает целевую функцию, - с помощью распределения Больцмана решается, сохранить ли новое значение веса или восстановить предыдущее значение. Таким образом, имеется конечная вероятность того, что ухудшающее множество приращений весов будет сохранено. Так как распределение Коши имеет бесконечную дисперсию ( диапазон изменения тангенса простирается от - оо до оо на области определения), то весьма вероятно возникновение больших приращений весов, часто приводящих к сетевому параличу. [37]
Если бы ряды были получены из гауссовского случайного блуждания, то чем больше наблюдений мы бы имели, тем больше последовательное стандартное отклонение стремилось бы к стандартному отклонению совокупности. Аналогично, если среднее значение устойчиво и конечно, выборочное среднее будет, в конечном счете, сходиться к математическому ожиданию. Для файла данных индекса Доу-Джонса для акций промышленных компаний мы нашли мало доказательств конвергенции приблизительно после 100 лет данных. Это подразумевает, что в более короткие периоды процесс намного более похож на бесконечную дисперсию, чем на распределение конечной дисперсии. Последовательное среднее сходилось более быстро, и выглядело более устойчивым. Фрактальное распределение, конечно, хорошо бы описывалось бесконечной или неустойчивой дисперсией, а также конечным и устойчивым средним. [38]
Те читатели, кто продирался сквозь настоящее эссе с самого начала, я уверен, давно свыклись с возможностью выбора между очень большим и бесконечным, однако те, кто открыл книгу именно на этом месте, возможно, пребывают в ином расположении духа, - в ином расположении духа пребывали, как выяснилось, и мои читатели в 1962 г. Всякому, кто получил обычное статистическое образование, бесконечная дисперсия представляется в лучшем случае чем-то жутковатым, а в худшем - эксцентричным. В действительности же, если бесконечное и отличается чем-то от очень большого, то, судя по выборочным моментам, эту разницу заметить невозможно. Например, переменная плотности Коши 1 / тг ( 1 ж2) почти наверное конечна, однако имеет бесконечную дисперсию и бесконечное математическое ожидание. Таким образом, вопрос о выборе между переменными с очень большой и бесконечной дисперсией не следует решать a priori, решение должно зависеть исключительно от того, какой из вариантов окажется более удобен в данном конкретном случае. [39]
Допустим, что п ( t) - некоррелированный случайный шуме нулевым средним. Процессы такого типа называют белым шумом, поскольку мощность постоянна на любом промежутке частот, что очень напоминает белый свет, который в видимой части оптического спектра остается более или менее постоянным. Хотя для объяснения понятия ПСМ белый шум служит полезным математическим инструментом, следует заметить, что он физически нереализуем, поскольку имеет бесконечную дисперсию. Устройства, которые, как считается, создают белый шум, на самом деле производят шум, ПСМ которого остается постоянной лишь до определенной частоты, а затем на больших частотах убывает. [40]
Если две акции имеют различную волатильность, то та, что с большей волатильностью, является более рискованной. Модель случайного блуждания открывает двери целому набору аналитических инструментов, которые, со своей стороны, предлагают возможность оптимальных решений, или даже всего один правильный ответ. Так как базы данных становятся более обширными, а компьютеры все более мощными, армии студентов и академиков тестируют гипотезу эффективного рынка - краеугольный камень теории рынков капитала. В чистой математике движение продолжалось, и пришло время, когда были классифицированы распределения Паре-то. Синдром бесконечной дисперсии был менее популярен в экономической теории. Распределения Парето стали почти забыты, особенно в экономике финансов. Принять распределения Парето означало бы отбросить огромное количество работ, основанных на линейных отношениях и конечных дисперсиях. Кульминацией его работы стало переоткрытие Д / 5-анализа в конце 60 - х годов. [41]
Фама продемонстрировал параметрические методы поиска эффективной границы для стабильно распределенных ценных бумаг ( распределения которых обладают одинаковым характеристическим показателем А), когда прибыли компонентов зависят от одного индекса основного рынка. Существует и другая работа, посвященная выведению эффективной границы в условиях бесконечной дисперсии прибылей компонентов портфеля. Эти методы не рассматриваются в данной книге, но для заинтересованных читателей есть ссылки на соответствующие статьи. О распределении ТТарето вы сможете узнать из приложения В. Несколько слов о бесконечной дисперсии сказано в разделе Распределение Стьюдента в приложении В. [42]
Те читатели, кто продирался сквозь настоящее эссе с самого начала, я уверен, давно свыклись с возможностью выбора между очень большим и бесконечным, однако те, кто открыл книгу именно на этом месте, возможно, пребывают в ином расположении духа, - в ином расположении духа пребывали, как выяснилось, и мои читатели в 1962 г. Всякому, кто получил обычное статистическое образование, бесконечная дисперсия представляется в лучшем случае чем-то жутковатым, а в худшем - эксцентричным. В действительности же, если бесконечное и отличается чем-то от очень большого, то, судя по выборочным моментам, эту разницу заметить невозможно. Например, переменная плотности Коши 1 / тг ( 1 ж2) почти наверное конечна, однако имеет бесконечную дисперсию и бесконечное математическое ожидание. Таким образом, вопрос о выборе между переменными с очень большой и бесконечной дисперсией не следует решать a priori, решение должно зависеть исключительно от того, какой из вариантов окажется более удобен в данном конкретном случае. [43]
Имея в виду эти результаты, я хотел бы предложить следующее для рынков акций и облигаций. В краткосрочной перспективе на рынках доминируют процессы торговли, которые являются дробными шумовыми процессами. В местном масштабе они являются членами семейства ARCH-процессов и характеризуются условными дисперсиями; то есть каждый инвестиционный горизонт характеризуется своим собственным измеримым процессом ARCH с конечной, условной дисперсией. Эта конечная условная дисперсия может использоваться для оценки риска только для этого инвестиционного горизонта. В глобальном масштабе данный процесс является устойчивым ( фрактальным) распределением Леви с бесконечной дисперсией. По мере увеличения инвестиционного горизонта он приближается к поведению бесконечной дисперсии. [44]
Одна из аномалий была найдена, когда Осборн ( 1964) вычертил функцию плотности прибылей фондового рынка и назвал их приблизительно нормальными: это было необычное наблюдение, так как хвосты этого распределения отличались свойством, которое статистики называют эксцесс. Осборн заметил, что они толще чем должны были бы быть, но не придал этому значения. К тому времени как появилась классическая публикация Кутнера ( 1964Ь) стало общепринятым, что распределения ценовых изменений имеют толстые хвосты, но значение этого отклонения от нормальности еще находилось в стадии обсуждения. Статья Мандель-брота ( 1964) в сборнике Кутнера содержала доказательства того, что прибыли могут принадлежать семейству устойчивых распределений Парето, которые характеризуются неопределенной, или бесконечной дисперсией. Кутнер оспаривал это утверждение, - оно серьезно ослабляло гауссовскую гипотезу, - и предлагал альтернативу, которая состояла в том, что сумма нормальных распределений может являть распределение с более толстыми хвостами, тем не менее оставаясь гаус-совским. [45]