Cтраница 3
Другими словами, рассматриваемое преобразование сохраняет норму. Учитывая изоморфизм пространств Но и Е3, получаем, что такое преобразование эквивалентно вращению трехмерного пространства. [31]
Оператор ф: V - V сохраняет и это разложение. V является изоморфизмом пространства V на себя. [32]
Кроме того, существует изоморфизм пространства Lt ( G) на прямой интеграл операторов Гильберта - Шмидта в пространствах представлении я. [33]
Во всех остальных случаях имеется много ( если Ж бесконечно, то бесконечно много) изоморфизмов. В частности, имеется много изоморфизмов пространства L с самим собой. [34]
Здесь часто просто формулируемые вопросы имеют весьма нетривиальные решения. Эта тематика тесно связана с изучением изоморфизма пространств, с нахождением универсальных представителей в том или ином классе пространств. [35]
Геометрически псе эти задачи сводятся к задаче опускания перпендикуляра из нек-рой точки гильбертова пространства Их ( или его расширения) на заданное подпространство этого пространства. Опираясь на такую геометрии, интерполяцию и на изоморфизм пространств HX н L ( dF), A. H. Колмогоров вывел общие формулы, позволяющие по спектральной функции F ( А) С. В применении к задаче экстраполяции аналогичные же результаты для С. V ( t) с непрерывным временем были позже получены М. Г. Крепком и К. Что касается задач об оптимальной линейной экстраполяции или фильтрации С. [36]
Тождественное отображение пространства U в V может быть продолжено в изоморфизм пространства UL в пространство VL. Действительно, пусть В - базис пространства U. [37]
В общем случае, когда отображение и не взаимно однозначно, введем в рассмотрение ядро N отображения и и взаимно однозначное отображение v: EJN - F, индуцированное отображением и. Но в силу предложения 8.1.2 это означает, что v - слабый изоморфизм пространства E / N в F относительно слабых топологий в E / N и F. Таким образом, если и: E-F - слабо открытое отображение, то и ( Ff) i ( №) - №, причем это множество слабо замкнуто. [38]
Заметим при этом, что ( так как G замкнуто и и сильно непрерывно) оба пространства G и GI банаховы. С другой стороны, очевидно в силу ( d), что v - изоморфизм пространства GI в G, а при Gi F верно и обратное. Далее из следствия 8.6.15 ( Ь) вытекает, что v есть изоморфизм пространства GI в G тогда и только тогда, когда / ( G) - Gi - Пространство G [ совпадает ( теорема Хана - Банаха) с множеством сужений элементов из F на GJ. Это утверждение с учетом предыдущих замечаний завершает доказательство теоремы. [39]
Пусть v-взаимно однозначное отображение X на У, определяемое отображением и. Сказать, что и - открытое отображение пространства Е в F, по определению равносильно утверждению, что v - изоморфизм пространства X на У. В силу предложения 8.1.2 утверждения а - слабо открытое отображение в и v - слабый изоморфизм на эквивалентны. [40]
Установим некоторые обозначения и терминологию. Если дано гильбертово пространство Я, то гауссовское случайное поле, индексированное пространством Я, определяется однозначно с точностью до изоморфизма пространства с мерой; поэтому будем обозначать через QH соответствующее измеримое пространство, и через djuio, я - соответствующую меру. [41]
Размерность пространства V называется размерностью или степенью представления. Гомоморфизмом представления Ф группы G на пространстве V в представление Ф группы G на пространстве W называется линейное отображение а: V - W, для которого а ( Ф ( д) у) Ф ( а ( г)) при всех g G G, v G V. Если гомоморфизм а является изоморфизмом пространств, то представления Ф и Ф называют изоморфными. [42]
Отображение А: § - § зададим, сопоставив друг другу векторы, имеющие одинаковые координатные столбцы в выбранных базисах. Матрица этого отображения единичная, поэтому отображение будет изоморфизмом пространств S и &, рассматриваемых как линейные пространства. Из формулы ( П) § 1 следует, что при таком отображении сохраняется скалярное произведение. Интересно отметить, что условие ( 8) очень сильное. Из него следует, что А-линейное отображение и, более того, вложение. [43]
Заметим при этом, что ( так как G замкнуто и и сильно непрерывно) оба пространства G и GI банаховы. С другой стороны, очевидно в силу ( d), что v - изоморфизм пространства GI в G, а при Gi F верно и обратное. Далее из следствия 8.6.15 ( Ь) вытекает, что v есть изоморфизм пространства GI в G тогда и только тогда, когда / ( G) - Gi - Пространство G [ совпадает ( теорема Хана - Банаха) с множеством сужений элементов из F на GJ. Это утверждение с учетом предыдущих замечаний завершает доказательство теоремы. [44]
При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, к-рая гомотопически тривиальна ( в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в нек-рой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. В качестве такой подгруппы обычно выбирается фродгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для к-рых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор. [45]