Cтраница 4
Предположим, что Е и F - банаховы пространства. Пусть f - функция класса С ( с г 1), определенная в окрестности точки х0 из Е, со значениями в F. Пусть г / 0 f ( хл), и предположим, что D / ( л 0) есть изоморфизм пространства Е на F. Тогда / индуцирует гомеоморфизм g некоторой окрестности точки х0 на некоторую окрестность точки г / 0 ( п 1.5) и отображение, обратное Kg, принадлежит классу Сг в окрестности точки уй. [46]
Возникла проблема: возможно, базис существует в каждом банаховом пространстве. Здесь часто просто формулируемые вопросы имеют весьма нетривиальные решения. Эта проблематика тесно связана с изучением изоморфизма пространств, с нахождением универсальных представителей в том или ином классе пространств. [47]
Докажем, что существует такое преобразование д Е G ( K), где К - поле частных Л, что для многочлена ff F мы получим в ( 3) полустабильную эллиптическую поверхность. В Е М лежат в соответствующих G-инвариантных подпространствах. В Р действует группа PL ( 1), гомоморфным образом которой является группа G. Гомоморфизм р ограничения на конику Q О определяет изоморфизм пространств Р и Р, перестановочный с действием PL ( 1) и G. Ввиду стандартного аргумента, которым мы уже пользовались выше, существует преобразование д EPL ( l) ( / f), которое переводит наше семейство эллиптических поверхностей в семейство с полустабильным вырождением слоя. При помощи установленного изоморфизма мы получаем, что соответствующее преобразование д Е G ( K) обладает нужным свойством. [48]
На первый взгляд может показаться, что доказательство грубости диффеоморфизма /, имеющего бесконечное число периодических точек, должно быть очень сложным. Диффеоморфизмы Морса - Смейла, напротив, должны иметь источники и стоки, а обычно также и седла. Напомним, что / порождено изоморфизмом L пространства 1R2, где L задается гиперболической матрицей с целочисленными элементами и единичным определителем. [49]