Cтраница 3
Имеется более общее ( и более полезное) понятие: функтор S: А - - ( 7 является эквивалентностью категорий ( и тогда категории Аи С эквивалентны), если существуют ( противоположно направленный) функтор Т: С - А и естественные изоморфизмы ST /: С - - ( 7иГ5 /: А А. В этом случае Г: ( 7 - А также является эквивалентностью категорий. Вскоре мы увидим, что тогда Т сопряжен к S и слева, и справа. [31]
В качестве первого примера отметим, что любая моноидальная категория М является и бикатегорией В с одной 0-клеткой. Тогда естественные изоморфизмы а, А и р из определения моноидальной категории подходят и для построения бикатегории, поскольку удовлетворяют тем же тождествам, выраженным в пятиугольнике ( 7), § 12.6 и квадрате ( 8), § 12.6. Обратно, бикатегория В с единственной 0-клеткой является по той же причине моноидальной категорией. Как следствие, теорема когерентности для моноидальных категорий распространяется и на отображения р, А и а в бикатегориях. [32]
Поэтому / 9а о TSf о 0 1; следовательно, функтор S унивалентен. Симметричным образом из естественного изоморфизма ST I следует, что Т унивалентен. Покажем, что S полон. Тогда вышеприведенный квадрат останется коммутативным после замены Sf на / г; значит, TSf Th. Поскольку функтор Т унивалентен, то Sf / i, и это означает, что S полон. [33]
Функция /: - X из одноточечного множества в произвольное множество X определяется элементом / () Е X. Композиция с К дает естественный изоморфизм Set (, К -) - К. [34]
Если заменить представления Р эквивалентными представлениями, то их декартово произведение ( или декартова сумма) переходит в эквивалентное представление. Это свойство непосредственно следует из существования естественных изоморфизмов между произведениями множеств. [35]
Эти описания имеют разнообразные применения. Например, они могут быть использованы для доказательства естественного изоморфизма групп когомологий Александера - Спеньера пара-компактного хаусдорфова пространства группам когомологий Чеха, определенным с помощью нервов открытых покрытий. Прямое доказательство этого изоморфизма дано в [ 51, стр. [36]
Легко проверить, что таким образом мы получаем теорию, удовлетворяющую всем аксиомам Эйленберга - Стинрода, кроме аксиомы размерности. Более того, этим определяется взаимно однозначное с точностью до естественных изоморфизмов соответствие между теориями гомологии в нашем смысле и теориями Эйленеерга - Стинрода с исключенной аксиомой размерности. [37]
Тогда ассоциированное с ним естественное преобразование Г: Hi - Я2 - естественный изоморфизм теорий. [38]
Пусть У - почти периодическая функция на прямой. Рассмотрим группу Я-Fj - бсровску компактификацию для R, и пусть p R-H - естественный изоморфизм Я на подгруппу, всюду плотную в Я. [39]
Поскольку квадраты коуниверсальны, то и составленные из них прямоугольники тоже коуниверсальны. Поскольку коуниверсальный квадрат каждой диаграммы единствен с точностью до изоморфизма, то мы получаем требуемый естественный изоморфизм а между тройными произведениями. [40]
Если Л замкнута в G, то пересечение D - Nf H замкнуто в Н и естественный изоморфизм между H / D и NH / N непрерывен. [41]
Если jV замкнута в G, то пересечение D N ( ] H замкнуто в Я и естественный изоморфизм между H / D и NH / N непрерывен. [42]
Отметим, что каждое из понятий универсальная стрелка, универсальный элемент и представимый функтор фактически охватывает два остальных. Так, универсальная стрелка из с в S: D - С соответствует ( см. предложение 1) естественному изоморфизму D ( r, d) C ( c, / Sd), а значит и представлению функтора ( 7 ( с, S -): D - Set или, равносильно, универсальному элементу для этого функтора. [43]
Если ( X, А) - пара, состоящая из CW-комплекса Х и его подкомплекса А ( или, в большей общности, пара, имеющая гомотопический тип пары CW-комплексов), то из общей теоремы Милнора [42] вытекает, что ц: Н ( Х, A; G) - H s ( X, A; G) - изоморфизм. В действительности в теореме Милнора не утверждается, что именно ц - изоморфизм, а утверждается лишь существование некоторого естественного изоморфизма. Однако легко проверить, что два естественных изоморфизма совпадают, если они одинаковы для одноточечного пространства. В теореме Милнора нет необходимости налагать какие-либо условия конечности на рассматриваемые С № - комплексы. [44]
Группой Ли-Фреше называется многообразие Фреше G, снабженное структурой группы такой, что умножение ( g, h) gh и инверсия g - g - l дифференцируемы. Касательное пространство Te ( G) в точке е группы Ли-Фреше G превращается в алгебру Ли, например, при помощи естественного изоморфизма между T ( G) и пространством правоинвариант-ных векторных полей на G, которое является алгеброй Ли относительно операции коммутирования ( или скобки Ли) ( ср. [45]