Cтраница 4
Во многих категориях всякий - морфизм есть произведение эпиморфизма и мономорфизма, причем такое разложение морфиз ма оказывается однозначным с точностью до естественного изоморфизма. Анализ указанной ситуации приводит к следующему определению. [46]
Если мы обозначим через 1 двухэлементную булеву алгебру ( 1 означает здесь тот факт, что эта булева алгебра имеет в точности один атом), то существует естественный изоморфизм S ( I) ID на фильтрованное произведение [ J 1 ( см. упр. [47]
Следуя тем же путем, можно усмотреть, что для слоения Зейферта М фундаментальная группа ni ( M) устроена довольно специальным образом. Действительно, группа п ( М) действует на накрытии М, сохраняя естественное слоение, поэтому определено индуцированное действие группы п ( М) на X. Это действие определяет естественный изоморфизм п ( М) - - - - п ( Х), где через п ( Х) обозначена орбиобразная фундаментальная группа орбиобразия X. Ядро К этого отображения состоит из накрывающих сдвигов многообразия М, которые при проектировании переходят в тождественные отображения базы X. [48]
Из теоремы 4 вытекает важное свойство решений систем уравнений в словах. У изоморфна свободной полугруппе с m образующими. В этом случае естественный изоморфизм / / у полугруппы В на У 1 называется свободным изоморфизмом. Если при этом У - префиксный код или обращение префиксного кода, то fv называется префиксным или соответственно обратно-префиксным изоморфизмом. Легко проверить, что классы свободных изоморфизмов и префиксных изоморфизмов замкнуты относительно суперпозиции отображений. Если множество W s B, то его образ f ( W) при свободном изоморфизме называется его производным. [49]
Скелетом категории С называется любая ее полная подкатегория А, такая что любой объект из С изоморфен ( в С) ровно одному объекту из А. Тогда А и С эквивалентны, и вложение К: А - С является эквивалентностью категорий. Действительно, для каждого с G С выберем некоторый изоморфизм 9С: с Тс с объектом Т с из А. Тогда существует ровно один способ превратить Т в функтор Т: С - А, так чтобы получить естественный изоморфизм 9: 1 КТ. [50]