Cтраница 2
При изменении параметра а устойчивость периодических решений на одной ветви решений может изменяться. [16]
Рассмотрению вопросов существования и устойчивости периодических решений в случаях, когда уравнения ( 50) или ( 59) имеют кратные корни, посвящен цикл работ А. П. Проскурякова, а также его последователей - Г. В. Плотниковой и Ю. М. Копнина ( 1960 г. и позднее); в случае квазилинейных систем вычисления удается провести с большой полнотой в общей форме. [17]
Иван о в А. П. Об устойчивости периодических решений разрывных систем, пересекающих несколько поверхностей пазрыва / / ПММ. [18]
Таким образом, задача об устойчивости периодического решения в нелинейной системе сводится к задаче об определении устойчивости положения равновесия в линейной системе. Однако уравнение этой линейной системы содержит периодические коэффициенты, и в этом источник всех трудностей, связанных с исследованием устойчивости периодических режимов. [19]
Таким образом, изменение характера устойчивости периодического решения вновь оказывается возможным лишь при переходе мультипликатора через единичную окружность. Переход через - - 1, так же как и в автономном случае, указывает на наличие точки поворота или точки бифуркации на зависимости решения от параметра. [20]
Такие системы встречаются при исследовании устойчивости периодических решений нелинейных гамильтоновых систем, в теории автоматического регулирования и вопросах параметрического резонанса. [21]
Теперь мы можем формулировать достаточные условия устойчивости периодического решения р ( 0 для случаи, когда система ( 1) периодична, и для случая, когда она автономна. [22]
Строго говоря, требуется еще исследование устойчивости полученного периодического решения, но мы этого здесь не касаемся. [23]
В этом параграфе будут установлены достаточные условия орбитальной устойчивости периодического решения автономной системы. [24]
В последнем параграфе данной главы изучается вопрос об устойчивости периодических решений задачи Пуанкаре. Этот вопрос представляет большой интерес как для теории, так и для ее приложений. Оказывается, что и в вопросе об устойчивости периодических решений, зависящих от малого параметра, методы теории ветвления позволяют изучить задачу в более общей постановке и приводят к новым важным фактам. [25]
Как мы уже отмечали выше, при исследовании устойчивости периодических решений обычно рассматривают малые изменения этих решений и определяют, как изменяются эти малые отклонения с течением времени. Решение будет устойчивым, если малые отклонения ( в нашем случае отклонения амплитуды и фазы субгармоники или отклонения хну) с течением времени уменьшаются до нуля. [26]
Рассмотрим более подробно применение изложенного подхода к задаче устойчивости разрывных периодических решений. [27]
Таким образом, сечение Пуанкаре позволяет свести задачу об устойчивости периодического решения к задаче об устойчивости неподвижной точки отображения g, поэтому оно может быть весьма полезно при исследованиях бифуркаций периодических режимов. Однако гораздо чаще оно используется для сложных временных режимов с тем, чтобы упростить наблюдаемую картину и перейти от потока к отображению меньшей размерности. S могут быть нерегулярными и тогда отображение g будет слишком сложным или утратит важную информацию об исследуемой системе. Однако численное построение отображения может дать понимание качественной картины явления и помочь подобрать упрощенную модель, объясняющую ее. Особенно полезно отображение Пуанкаре для исследования некоторых потоков в R3, сильно сжимающих фазовый объем, когда двумерное отображение Пуанкаре оказывается почти одномерным и может быть таковым весьма точно аппроксимировано, что позволяет провести очень детальное исследование. [28]
Как известно, проблема нахождения необходимого и достаточного условия устойчивости периодических решений сводится к исследованию устойчивости линейного дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами. Однако до сего времени в общем случае не удалось найти методы, позволяющие исследовать устойчивость уравнений с периодическими коэффициентами, хотя в этом направлении был выполнен ряд интересных математических работ. [29]
Подстановка значения соответствующих частных производных в выражение (3.52) для критерия устойчивости периодического решения показывает, что он не выполняется при всех вещественных значениях амплитуды А этого решения. [30]