Устойчивость - предельный цикл
Cтраница 3
Если уравнения ( 1 - 138) имеют решение, то предельный цикл существует, Вопрос об устойчивости предельного цикла ( наличие автоколебаний) решается при анализе нелинейной системы. [31]
 |
Различные пути потери устойчивости предельного цикла и ассоциирующиеся с ними сценарии возникновения хаоса. [32] |
Оказывается, что и при большей размерности фазового пространства проведенный анализ остается в силе, в том смысле, что типичными будут три варианта линейной потери устойчивости предельного цикла ( с переходом мультипликатора через единицу, минус единицу, или пары комплексно-сопряженных мультипликаторов через единичную окружность) и те же варианты действия нелинейности на динамику возмущений вблизи бифуркаций, какие мы обсудили. Поэтому намеченная классификация сценариев перехода к хаосу оказывается весьма общей. [33]
Это общее правило применительно к системам, у которых амплитудная характеристика линейной части в интересующем диапазоне частот не имеет участков с положительным наклоном, дает очень простой способ определения устойчивости предельного цикла. Кривую фазовой границы устойчивости нужно заштриховать по следующему правилу. Если при увеличении А амплитудная характеристика нелинейной части перемещается вниз, то фазовая граница устойчивости штрихуется снизу. Если при увеличении А амплитудная характеристика нелинейной части перемещается вверх, фазовая граница устойчивости штрихуется сверху. Устойчивый предельный цикл будет в том случае, когда фазовая характеристика линейной части при увеличении в пересекает фазовую границу устойчивости, переходя с заштрихованной стороны на незаштрихованную. На рис. 5.2 точка пересечения фазовой характеристики с кривой фазовой границы устойчивости при частоте со0 соответствует устойчивому предельному циклу с амплитудой АО. Вторая точка пересечения при частоте o0i соответствует неустойчивому предельному циклу. [34]
Определение параметров предельных циклов ранее производилось на основе условия ( 40) без построения амплитудно-фазовой характеристики W ( y w), но с использованием характеристик W я ( /) и М ( / Ч Л), поэтому целесообразно отмеченное выше условие устойчивости предельных циклов переформулировать применительно к этим функциям. [35]
Значит с учетом зависимости испаряемости ( и, следовательно, испарения) от влагозапасов суши система уравнений водного баланса и баланса количества движения воды в речном бассейне оказывается существенно нелинейной и неустойчивой, что приводит к автоколебательным решениям этих динамических уравнений. Устойчивость предельных циклов по отношению к конечным возмущениям их амплитуд дает основание предполагать, что эти автоколебания встречаются в природе. [36]
 |
Рождение предельного цикла из петли сепаратрисы седло-узла. [37] |
Устойчивость предельного цикла определяется знаком о для седло-узла. Если а0, предельный цикл неустойчив, если а0, предельный цикл устойчив. [38]
Интегрируя последнее неравенство на отрезке [ 0 2л ], приходим к противоречию, чем и заканчивается доказательство. Утверждение об устойчивости предельного цикла непосредственно очевидно. [39]
Задача нахождения и построения предельных циклов весьма сложна. Иногда существование и устойчивость предельного цикла удается определить методом кольца, который заключается в еле -, дующем. Допустим, что на фазовой плоскости можно провести кольцо, в которое фазовые траектории лишь входят и из которого не выходит ни одна фазовая траектория. [40]
 |
К определению особых траекторий. [41] |
Таким образом, возможные в такой системе автоколебания будут неустойчивыми при определенной направленности возмущений. Это и определяет полу устойчивость предельного цикла. Система устойчива в малом, а возможный режим возникновения автоколебаний ( хотя в данном случае и неустойчивый) носит название жесткого режима возникновения колебаний. Жесткость определяется тем, что для возникновения автоколебаний величина отклонения не должна быть меньше некоторого заданного для данной системы значения. [42]
В результате бифуркации потери устойчивости предельного цикла в фазовом пространстве динамической системы рождается инвариантный тор. Как и для гамильтоновых систем, существенным моментом здесь является отношение частот движения вдоль меридиана тора и вдоль его оси. Если отношение иррационально, т.е. не может быть представлено как m / и, где m и и - целые числа, то фазовая траектория всюду плотно покрывает тор. В противном случае, т.е. при рациональном отношении частот, в фазовом пространстве возникнет предельный цикл, который расположен на торе. [43]
В третьем параграфе рассматривается второй метод Ляпунова, а в четвертом - решение проблемы Гурвица на основе матричного тождества Ляпунова. Пятый параграф посвящен анализу орбитальной устойчивости предельных циклов и их обобщений в многомерном пространстве с помощью обобщенных функций Ляпунова, основанных на математическом аппарате кривизн дифференциальной геометрии. В шестом параграфе анализируется устойчивость при постоянно действующих возмущениях. [44]
Для этих случаев дано определение устойчивости, ослабляющее требования определения Ляпунова к величинам начальных возмущений. Для систем второго порядка исследованы вопросы существования и устойчивости предельных циклов. [45]
Страницы: 1 2 3 4