Cтраница 3
Следующие примеры показывают, что эквиустойчивость может не совпадать ни с устойчивостью, ни с равномерной устойчивостью. [31]
Возьмем функции W - V и / г / г0 х из теоремы 3.3.3. Если необходимы только свойства равномерной устойчивости, то можно ослабить условия теорем 3.3.1 и 3.3.2, использовав семейство функций Ляпунова, каждая из которых удовлетворяет менее жестким условиям. [32]
Далее будет показано, что простой перенос результатов о возмущениях на случай переменных коэффициентов невозможен, и это приведет нао к рассмотрению равномерной устойчивости в равномерной асимптотической устойчивости. Для систем с такими свойствами будут рассмотрены допустимые линейные возмущения. [33]
Чтобы доказать утверждение теоремы о равномерной асимптотической устойчивости, для е 1 выберем бо 6 ( 1), как это было сделано для равномерной устойчивости. Пусть б б ( е) такое же, как выбранное при доказательстве равномерной устойчивости. [34]
Обобщенный вариант теоремы 4.2, в котором ограничение на г может зависеть от времени, имеется в статье Ризито [1974], где можно найти также условия для равномерной устойчивости. [35]
Следует отметить, что из доказательства теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости следует, как это показал И. Т. Малкин ( 1954), что при условиях этой теоремы имеет место равномерная устойчивость по времени t0 и координатам х0 начальных возмущений в следующем смысле. [36]
Соотношения ( РУ) ( У), ( РПУ) ( ПУ), а также и ( ЭУ) ( РПУ) вытекают непосредственно из определений равномерной устойчивости, эквиустойчивости, устойчивости и обоих определений псевдоустойчивости. Импликация ( РУ) ( ЭУ) устанавливается несложным образом с помощью определений. [37]
Если рассматриваемая система автономна или имеет нулевое решение ( F ( О, t) 0 при t 0), то расчетная неустойчивость начала координат эквивалентна свойству, противоположному равномерной устойчивости решения X 0 по Ляпунову. [38]
Ясно, что эти два понятия тесно свя-заны с понятиями равномерной условной устойчивости и условной экспоненциальной ( равномерной асимптотической) устойчивости и что в частном случае YX они просто совпадают с понятиями равномерной устойчивости и экспоненциальной устойчивости соответственно. [39]
Для o ( f, u) 0 теорема 3.4 ( а) следует из теоремы 1.4.2. Ляпунова об устойчивости, тогда как 3.4 ( в) получается из теоремы 1.4.3 К. П. Персидского о равномерной устойчивости. [40]
Конти [6] изучал преобразования более общего типа: он предполагал, что элементы матрицы A ( t) i-интегрируемы по Лебегу на каждом конечном интервале, и доказал, что устойчивость по Ляпунову, равномерная устойчивость и ограниченная устойчивость инвариантны при таком типе преобразований. [41]
Так как х / ( ю, ф) е & ( Q, е) для t Q, если фе ( 0, 6 ( е, а)), то это доказывает равномерную устойчивость. [42]
Так, например [ Аминов, Сиразетдинов, 1987 ], при рассмотрении пространственного маневра летательного аппарата с постоянной перегрузкой важно обеспечить асимптотическую устойчивость движения по углам атаки и скольжения, а по угловым скоростям тангажа, рысканья и вращения требуется лишь равномерная устойчивость. При этом не требуется устойчивого поведения по углам тангажа, рысканья и вращения. [43]
Ляпунова при подходящих условиях к функциям V и Н может быть эффективным для получения различных условий устойчивости системы (3.9.5) па основе теоремы 3.9.1. Отметим, что вектор-функция Ляпунова V ( t, z) может быть построена при определенных динамических свойствах подсистем ( например, равномерной устойчивости или асимптотической устойчивости), которые затем могут быть использованы для определения поведения крупномасштабной системы (3.9.5), как показано выше. [44]
В частном случае при f ( t, x ] g ( t, х) и существовании определенно-отрицательного среднего ф из георемы 3.2.3 следует теорема 3.2.1. Отметим, что производная функции Ляпунова V ( t, х) на основании системы (3.1.1) может быть в данном случае функцией знакопеременной в отличие от теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости или К. П. Персидского о равномерной устойчивости. [45]