Cтраница 2
Посмотрим теперь, что означает сделанное выше математическое утверждение относительно шредингеровской волновой функции. Схемы 9.2, бив аналогичны тем, которые Кекуле предложил еще в 1865 г. Он полагал, что молекулы, отвечающие этим схемам, находятся в состоянии динамического равновесия, причем превращение одной из них в другую происходит настолько быстро, что его невозможно наблюдать. Теперь мы знаем, что вместо двух быстро заменяющих одна другую структур в действительности имеется их суперпозиция. Математический прием составления линейных комбинаций волновых функций использует первоначальную гениальную догадку Кекуле и превращает ее в логичную и точную теорию. Составление полной волновой функции из двух ( или более) взаимно дополняющих структур обычно называют резонансом. [16]
Языки первого порядка используются для записи математических утверждений, причем для каждой конкретной области математики, или, как говорят, математической теории, выбирается язык с подходящей сигнатурой. [17]
Примем одно соглашение, относящееся к написанию математических утверждений. [18]
& - рассматриваю, исследую) г - математическое утверждение, истинность которого установлена путем доказательства. [19]
Имеется критерий, при помощи которого мы можем распознавать математические утверждения как таковые. Математическое отрицание этого утверждения можно выразить как Я выполнил в уме построение В, которое приводит к противоречию предположение, что можно довести до конца построение А. И утверждение, и отрицание выражены здесь в одинаковой форме. [20]
Даются формулировка теоремы ( с чертежом) и занумерованные математические утверждения. Среди них могут быть и такие, которые не имеют никакого отношения к доказательству данной теоремы. [21]
Декарту ( и основным принципам математической науки), доказанное математическое утверждение должно быть истинно всегда. Декарта статус врожденных идей, дедуктивизм в математике невозможен, а какого-либо иного дедуктивизма история науки не знает. Сразу же заметим, что врожденные идеи - слишком сильное требование в данном случае, как, впрочем, и априоризм в кантовском понимании, пришедший в философии на смену декартовым врожденным идеям. Для утверждения принципов дедуктивизма вполне достаточно самого слабого и примитивного априоризма - даже за пределами математики, что и будет доказано здесь в дальнейшем. Декартом, реально не отделим от априорного статуса ее оснований. [22]
Гильберт рассчитывал, что для любой строки символов, представляющих математическое утверждение, скажем, Р, можно будет доказать либо Р, либо - Р, если Р истинно или ложно, соответственно. Если бы надежды Гильберта оправдались, то можно было бы вообще не задумываться о том, что означает то или иное утверждение. Чтобы такой подход имел смысл, мы должны дополнительно к условию полноты наложить еще и условие непротиворечивости, гарантирующее отсутствие такой строки символов Р, для которой как Р, так и - Р были бы теоремами. [23]
В заключение следовало бы отметить, что соотношение (4.178) представляет собой математическое утверждение ( основанное на модели столкновения двух тел) физического процесса, имеющего место в описанном выше эксперименте. [24]
А все-таки такого быть не может, потому что термодинамику венчает типично математическое утверждение - о существовании определенной функции параметров состояния, энтропии, и термодинамика дает методы вычисления этой функции. [25]
С первых дней пребывания в институте студент погружается в увлекательный мир математических утверждений ( аксиом), теорем и их доказательств, постепенно вооружаясь аппаратом анализа и расчета. Этот аппарат далее должен быть не только сохранен как средство инженерного труда, но и по мере возникновения конкретных практических задач развит применительно к ним. Мало выучить математику, ее необходимо глубоко познать, превратить, если можно так выразиться, в сферу своего обитания. В этом случае можно гарантировать, что никакие новые задачи специалиста не застанут врасплох. [26]
Декартом в немалой степени способствовала и впервые обоснованная им необходимость сведения математических утверждений к некоторым идеям, не зависящим от опыта, истинность которых очевидна. Декарту, математическое рассуждение, необходимо начальное звено - утверждение, истинность которого очевидна, поскольку это утверждение должно приниматься без доказательства и не может зависеть от опыта. [27]
Найт доказывал, что трудности прогнозирования отнюдь не сводятся к невозможности применения математических утверждений. Хотя он не ссылается впрямую на Байеса, очевидны его сомнения в познавательной ценности эмпирических оценок частоты события в прошлом. Он утверждал, что априорные рассуждения не могут исключить неопределенность будущего. В результате он считает, что весьма рискованно полагаться на частоту события в прошлом. [28]
Ахилл: Вы думаете, что может существовать связь между истинностью или ложностью определенного математического утверждения и красотой ( или отсутствием таковой) соответствующей музыкальной пьесы. [29]
Новейшие вычислительные машины позволяют производить весьма сложные вычисления, определять истинность и ложность некоторых математических утверждений и даже отыскивать доказательства и находить новые теоремы. [30]