Cтраница 3
Центральная идея математической логики восходит еще к Лейбницу и состоит в том, чтобы записывать математические утверждения в виде последовательностей символов и оперировать с ними по формальным правилам. При этом правильность рассуждений можно проверять механически, не вникая в их смысл. [31]
Тьюринга, изложенными во второй главе, согласно которым не существует общего алгоритма для доказательства математических утверждений. И, как следствие, мы доказали теорему Геделя о том, что ни одна система наподобие задуманной Гильбертом не может быть полной в обсуждаемом нами смысле. [32]
С другой стороны, особенно важно иметь точное определение доказательства тогда, когда нужно установить, что данное математическое утверждение недоказуемо в той или иной системе аксиом. Данная ситуация очень похожа на положение дел с построением при помощи циркуля и линейки в евклидовой геометрии: там, для того чтобы показать, что некое построение ( например, трисекция угла, квадратура круга или удвоение куба) невозможно, требуется обычно более критическое определение понятия построение, чем для того, чтобы показать, например, что то или иное геометрическое построение с помощью циркуля и линейки действительно возможно. То же самое происходит и с доказуемостью: чтобы продемонстрировать, что данное утверждение недоказуемо в некоторой исходной системе аксиом, требуется гораздо более строгое и критическое определение самого понятия доказательство, чем для получения соответствующего положительного результата, а именно что данное утверждение в самом деле является доказуемым при принятии той или иной аксиомы. [33]
Вого утверждения яйляется: Я не выполнил в уме построение А; это констатирование не имеет формы математического утверждения. [34]
Непременное свойство формальной математической системы заключается в существовании вычислимого способа решить, является ли некоторая строка символов доказательством соответствующего математического утверждения или нет. Весь смысл формализации понятия математического доказательства в конечном счете сводится к тому, чтобы не требовалось никакого дополнительного суждения о состоятельности того или иного типа рассуждений. Необходимо обеспечить возможность проверять полностью механическим и заранее определенным способом, что предполагаемое доказательство и в самом деле является таковым - то есть должен существовать алгоритм для проверки доказательств. С другой стороны, мы не требуем существования алгоритмической процедуры нахождения доказательств истинности ( или ложности) предлагаемых математических утверждений. [35]
В третьем цикле лабораторных работ формируются умения анализировать учебный материал школьных учебников через реализацию в них конкретных математических методов: дедуктивного метода доказательства математических утверждений, координатного метода, векторного метода, метода геометрических преобразований, метода уравнений и неравенств, метода применения производной и интеграла. [36]
Это не означает, что в каждом отдельном случае мы не в состоянии выяснить справедливость ( или, наоборот, несостоятельность) некоторого конкретного математического утверждения или определить, остановится ли данная машина Тьюринга. С помощью интуиции, искусных технических приемов или же опираясь просто на здравый смысл, мы, вероятно, могли бы получить ответ на такие вопросы в частных случаях. [37]
Они будут означать нечто вроде экспертной оценки признанных специалистов - к тому же нередко подправленной субъективным ее восприятием - того факта, что два математических утверждения в каком-то смысле выводимы одно из другого. [38]
Распространенный в преподавании математических дисциплин абстрактно-дедуктивный стиль изложения, возникший еще в древности, воспитывает представление об особом - принудительном для индивидуального сознания - характере математических утверждений. Однако этот сложившийся метод преподавания математики, по нашему мнению, мало что дает для понимания эффективности ее применения в одних жизненных ситуациях и, наоборот, неэффективности попыток применения математики в других ситуациях. Доказательство утверждений на основе общих определений и аксиом позволяет демонстрировать непреложный характер положений математики, но совершенно оставляет в стороне прикладную составляющую математических подходов и методов, выходящую на передний план в практической деятельности менеджера. Трудно ожидать, что менеджер, обучавшийся математике путем заучивания немотивированных ( для него) определений и закрепления готовых математических приемов за счет решения взятых неизвестно откуда ( для него) задач, вдруг проявит предприимчивость и нестандартный подход при анализе новой ситуации. [39]
Однако - и это одно из наиболее поразительных свойств математики ( может быть, почти единственной в этом отношении среди всех прочих наук) - истинность математических утверждений может быть установлена посредством абстрактных рассуждений. Это относится и к утверждениям типа геделевского. Если первый математик готов согласиться с тем, что все аксиомы и операции некоторой формальной системы всегда приводят только к истинным утверждениям, то он также должен быть готов принять в качестве истинного и соответствующее этой системе геделевское утверждение. Точно то же самое произойдет и со вторым математиком. [40]
В действительности теорема Геделя носит более частный характер, поскольку от формальной системы того типа, который рассматривал Гедель, требовалась адекватность по отношению к арифметическим утверждениям, а не математическим утверждениям вообще. [41]
В то же время, в отличие от обычаев теоретической физики, в такой литературе должна быть ясна в первую очередь математическая идеология и ссылки на физические соображения должны подкрепляться подходящими математическими утверждениями. Особую ценность представляют результаты и методы, полученные или развитые ыа этом пути впервые. [42]
Возвращаясь к определению учебной задачи, данному в свое время Д. Б. Элькониным, убеждаемся, что действительно в результате решения такой задачи ученик приобретает умение анализировать структуры определений понятий, выполнять доказательство математических утверждений, выделять действия для решения определенных классов математических задач. [43]
Так, например, заранее не ясно, что однородные уравнения равновесия допускают введение функций напряжения), и совершенно очевидно, что уравнения неразрывности должны тождественно выполняться, если в них компоненты деформации выразить через перемещения, а с точки зрения ста-тико-гевметрической аналогии здесь речь идет об идентичных математических утверждениях. [44]
В первом цикле лабораторных работ ( 8 - 10 работ) происходит овладение умениями логико-математического анализа учебного материала учебников в основном для неполной средней школы, подбора вопросов и математических задач как средства обучения конкретному содержанию, организации и управления поиском решения школьных математических задач как цели математической деятельности на школьном уровне и доказательства математических утверждений, составления и оценивания контрольной работы по математике для учащихся и анализа ее результатов. [45]