Сингулярное возмущение

Cтраница 4

Проведение исследований, итоги которых здесь приведены, стало возможным в результате поддержки в течение ряда лет со стороны Национального научного фонда и Национального научного и технического исследовательского совета. Мы выражаем этим организациям нашу искреннюю благодарность за их щедрость и внимание. Мы хотим также поблагодарить наших коллег и студентов, которые проявляли внимание к нашей работе и делились с нами своими знаниями по теории сингулярных возмущений, особенно Боба О Малли, Аделаиду Васильеву и Вольфганга Вазова. Эта монография является лишь малой частью нашей благодарности за их дружбу и поддержку. [46]

Парадоксально, но эта ветвь, приобретя сегодня широкую популярность у теоретиков и - имея важное значение для прикладников, так и не получила единого, общеупотребительного наименования. Одни авторы называют объект исследования уравнением с малым параметром при старших производных, другие говорят о сингулярном возмущении, третьи используют разнообразную терминологию, порожденную многочисленными приложениями: задача с пограничным слоем, с краевым эффектом, со скачком уплотнения... Пожалуй, первое из всех приведенных названий - наиболее точное, хотя оно несколько длинно и потому не очень удобно. Что касается термина сингулярное возмущение, то он, вообще говоря, имеет гораздо более широкий, но расплывчатый смысл. [47]

В пределе Нгц, точка расположена при фиксированном Z. B преде-ле Нт2 она находится при фиксированном г / б. и, следовательно, приближается к границе, если. - 0. [48]

Особая структура найденного решения, проявляющаяся в различных пределах при малом коэффициенте трения, характерна для почти невязких течений. Пока еще неясно, однако, сможем ли мы использовать изученный нами простой пример для построения решения более сложных задач. Основное упрощение в решении задачи было связано с выделением областей с различными соотношениями физических факторов, в каждой из которых решения рассматривались отдельно, а затем согласовывались друг с другом. Последовательная разработка такой идеи составляет основу теории сингулярных возмущений; методы этой теории будут показаны на примере в следующем разделе. [49]

Когда стандартные формы, порожденные двумя гиперконечными формами, окажутся различными. Последний результат этого параграфа показывает, что для ответа на этот вопрос достаточно проверить, имеют ли указанные формы одинаковые резольвенты. Напомним, что теорема 5.1.19 дает способ восстановления формы по ее резольвенте. Это представление будет использовано позже при изучении сингулярных возмущений операторов. [50]

На этом мы оставляем общую теорию сингулярных возмущений; как уже было сказано, следующие два параграфа будут посвящены изучению двух важных частных случаев - точечных взаимодействий и потенциалов, сосредоточенных на броуновских траекториях. Изложенная выше теория является новой, и частично по этой причине данный параграф - один из наиболее незавершенных в книге: хотя у нас есть довольно хорошее понимание того, когда возмущения, сосредоточенные на множествах нулевой меры, существуют, мы почти ничего не знаем об их свойствах. Быть может, работа, проделанная в связи с точечными взаимодействиями ( ее краткий обзор мы даем в следующем параграфе), может послужить образцом для общей теории; вопросы, которые здесь исследовались разными авторами, включают спектральные свойства, резонансы и сходимость аппроксимирующих операторов. Кажется очевидным, что должна также существовать связь между сингулярными возмущениями и хаус-дорфовой мерой и размерностью; эта связь пока никак не эксплуатировалась. В заключение отметим, что в сотрудничестве с Карвовским ( Karwowski) мы разработали альтернативный подход к следствию 6.2.12; он использует преобразования Фурье и ультрафиолетовые обрезания. [51]

Фофонова, рассмотренную в разд. Отсутствие бокового трения привело к резонансу с модой Фофонова. Отсюда можно получить оценку ( 1 84) х 8 - 14 7 для амплитуды моды Фофонова, что находится в хорошем согласии с расчетами. Изложенные очень важные качественные отличия между расчетами Брайена и Верониса прекрасно иллюстрируют эффект сингулярного возмущения уравнения вихря, создаваемого в результате пренебрежения боковым трением. [52]

Праудмен и Пирсон [49] установили, что решение Озеена нужно рассматривать как равномерно справедливое нулевое приближение решения уравнений Навье - Стокса при малых числах Рейнольдса. Если обозначить решение уравнения Озеена через ( v0, p0), то Праудмен и Пирсон указали, что это поле, а не поле Стокса, примененное в методе возмущений типа Уайтхе-да, должно привести к удовлетворительному начальному приближению для описания инерционных эффектов при малых числах Рейнольдса. Вследствие сложной структуры уравнений Озеена этот подход, наверное, не может быть продолжен далее. В некотором смысле Праудмен и Пирсон отстаивали другой метод возмущений для решения уравнений Навье - Стокса при малых числах Рейнольдса. Этот метод сингулярных возмущений, схематически более сложный, чем комбинированный метод Уайтхеда - Озеена, более удобен на практике. При его помощи удается получить приближенные поля возмущений, равномерно справедливые во всем объеме жидкости, и определить подходящие решения, которые локально справедливы в отдельных областях вблизи и вдали от тела. Это - внутреннее и внешнее решения, каждое из которых единственным образом определяется асимптотическим сращиванием этих решений в области их общей справедливости. [53]

Страницы: 1 2 3 4