Cтраница 2
Этот учащийся оказался в состоянии догадаться об определенном математическом факте и четко различать между догадкой и доказательством. Ему также известно, что догадки могут быть более или менее правдоподобными. Он безусловно вынес пользу из своих занятий математикой; он приобрел опыт в решении задач, он в состоянии найти удачную идею и использовать ее. [16]
Предлагаемые в книге задачи помогут учителю в иллюстрации математических фактов и обосновании того значения, которое имеет внедрение достижений передовой науки, новой технологии и научной организации труда в промышленном и сельскохозяйственном производстве, а также в повышении производительности труда, снижении себестоимости продукции, режиме экономик, снижении материалоемкости и энергоемкости производства продукции, повышении качества производимой продукции. [17]
Единственная причина, в силу которой мы считаем достоверными хорошо доказанные математические факты, например, что поверхность сферы в четыре раза больше площади большого круга, состоит в том, что доказательства повторялись и проверялись большим числом лиц, иной раз тысячами, а то и миллионами, как в случае доказательств, восходящих к Евклиду. Вероятность того, что все эти лица допустили одну и ту же ошибку, очевидно, настолько ничтожна, что наша абсолютная уверенность оправдана. В наши дни математик, открывший новую теорему, публикует ее в издании, которое выпускается в нескольких сотнях экземпляров. Имеется, стало быть, немало шансов за то, что несколько читателей заинтересуются новым результатом и проверят его доказательство, или даже придумают новое и более простое. Именно так по истечении известного времени новые результаты входят в состав результатов достоверных и их начинают рассматривать как достоверные. Однако весьма возможно, я сказал бы даже - вероятно, что некоторые частные, не очень интересные результаты не привлекли ничьего внимания, и быть может, около века спят в пыли библиотек, и что среди них есть и неверные. Но если даже такое обстоятельство будет установлено, оно ничуть не поколеблет нашей уверенности в достоверности результатов, общепринятых у математиков и воспроизведенных в многочисленных учебниках, так как они подверглись многочисленным проверкам. [18]
Одеждой математики скорее можно назвать внешнюю фор му записи математических фактов, представляющую со-бой удручающе однообразную ( особенно для неспециалиста) цепочку логических символов. Эти символы действительно являются лишь внешним отражением сущности математики, подобно тому как нотная грамота - отражением музыки. [19]
Дополним теперь наше рассмотрение первого и второго законов несколькими математическими фактами, известными из обычного анализа. [20]
Суть дела чаще всего проста, но некоторые явления имеют источником не вполне очевидные математические факты. Первое впечатление о тривиальности поведения случайных 01 последовательностей не совсем верно. Но даже нормальная асимптотика, позволяющая легко оценивать доверительные интервалы и другие нюансы, оставляет кое-что вне поля зрения. [21]
Исследование такого крайне незначительного числа вариантов вполне достаточно, поскольку основывается на известном математическом факте, утверждающем, что при простых видах зависимости ( прямая, гипербола, парабола, экспонента, степенная функция), которыми аппроксимируются исследуемые функции, для построения последних достаточно не более четырех точек. [22]
Разбор решения задачи даст возможность познакомить учащихся с ролью наблюдений и неполной индукции, используемых учеными-математиками при открытии многих математических фактов, а также с методом полной индукции, широко применяемым при решении многих математических задач. Возведение в квадрат всех двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 5, и рассмотрение каждого из девяти полученных результатов являются доказательством установленной на нескольких примерах закономерности. [23]
Другое соображение, высказываемое противниками доказательств, состоит в том, что при практическом использовании математики далеко не всегда приходится пользоваться доказанными математическими фактами. Так, например, до сих пор теоретически задача Ньютона о трех телах полностью не изучена, а космические аппараты успешно летают. Говорится, что на вычислительных машинах решаются с нужной степенью точности уравнения, когда не только не удается оценить скорость сходимости применяемого вычислительного процесса, но даже и просто доказать его сходимость. Указывается на успех использования при численных решениях задач ин - туитивных соображений и эвристических методов. [24]
Другое соображение, высказываемое противниками доказательств, состоит в том, что при практическом использовании математики далеко не всегда приходится пользоваться доказанными математическими фактами. Так, например, до сих пор теоретически задача Ньютона о трех телах полностью не изучена, а космические аппараты успешно летают. Говорится, что на вычислительных машинах решаются с нужной степенью точности уравнения, когда не только не удается оценить скорость сходимости применяемого вычислительного процесса, но даже и просто доказать его сходимость. Указывается на успех использования при численных решениях задач интуитивных соображений и эвристических методов. [25]
Гжегорчик [6] и Крипке [2] предложили интересную философскую интерпретацию понятия истинности в интуиционистских структурах Бета и Крипке, которая может служить хорошим эвристическим средством отыскания новых математических фактов и проливает свет на значение теории интуиционистских моделей. Эта интерпретация может быть модифицирована и по отношению к рассматриваемым структурам. [26]
Посредством активного усвоения общих ориентиров типа математических задач и последовательности специфических и общих учебно-познавательных действий школьник учится решать не только каждую конкретную математическую задачу ( получает математический факт), но и целый тип, а значит, решает учебную задачу. [27]
Хотя в период разработки формализма господствовало убеждение, что формулы суть отображения более абстрактных и, главное, более истинных математических высказываний, они и манипуляции с ними не были самоцелью; формулы служили для того, чтобы выразить и передать математические факты. Тогда, в самом начале двадцатого столетия, еще до того, как формализм принял до некоторой степени окончательный облик, произошли два события: во-первых, обнаружилось, что неограниченное применение кванторов фактически приводит к противоречиям, и, во-вторых, Брауэр ( еще в своей диссертации Over de grondslagen der wiskunde 11, Амстердам и Лейпциг, 1907) выяснил, что принцип tertium non datur12 не может апеллировать к очевидности, если он применяется к высказываниям, в которых кванторы существуют и все относятся не к множеству отдельно указанных объектов, а к бесконечным множествам, таким, как, например, множество натуральных чисел или даже множество всех возможных бесконечных последовательностей таких чисел. В результате открылись два пути: брауэровский интуиционизм, который ограничивается наглядно очевидными высказываниями ( основанными на математической праинтуиции) и не превращает открытый в бесконечность ряд натуральных чисел в замкнутую область существующих самих по себе элементов, и гильбертовский формализм, в котором высказывания заменены лишенными смысла формулами, и поэтому применение кванторов ограничивается лишь заботой о том, чтобы не возникало никаких противоречий. [28]
В данном цикле возможно вновь возвратиться к логико-математическому анализу учебного материала, но уже с новой методической нагрузкой, отмеченной выше, и с учетом разработки вопроса, как этот материал помогает сформировать тот или иной математический метод и, с другой стороны, как математический метод способствует формированию нового содержания и доказательству новых математических фактов. Приобретенные в первом цикле лабораторных работ учебные и профессиональные умения анализировать конкретный, локального характера учебный материал в данном цикле совершенствуются и развиваются. [29]
По приведенным в таблице данным видно, что другие варианты зависимости текущего дебита нефти от времени мало отличаются от показательной зависимости ( всего относительное отклонение до 0 06 - 0 12) при значительном различии по величине результирующей неоднородности - результирующей неравномерности вытеснения нефти ( в 1 5 - 2 раза в большую или меньшую сторону); к тому же показательная зависимость занимает срединное ( наиболее вероятное) положение среди других возможных зависимостей. Приведенный математический факт объясняет устойчивость и широкое применение показательной зависимости. [30]