Cтраница 4
Но создание нового формального аппарата, который мог бы охватить новый круг вопросов науки о природе, было в то время делом непосильным: слишком мало было исследовано идейгое содержание обширного и каждодневно увеличивающегося материала математических фактов. [46]
Изучение опыта работы учителей убеждает, что при обучении учащихся математике ( в частности, при обучении учащихся способам решения нестандартных задач) наблюдение и индукция ( в том числе и полная) не заняли еще должного места. А между тем учитель должен знать и по возможности довести до сознания учащихся тот факт, что математика является экспериментальной, индуктивной наукой, что наблюдения и индукция играли и играют большую роль при открытии многих математических фактов. Эйлер писал, что свойства чисел, известные сегодня, по большей части были открыты путем наблюдения и открыты задолго до того, как их истинность была подтверждена строгими доказательствами. [47]
Настоящий томик Математической библиотеки не преследует цели - дать возможно более полное собрание разных доказательств теоремы Пифагора или к числу известных доказательств добавить новые. Мы хотели лишь показать здесь на простом примере, впрочем имеющем выдающееся значение как с точки зрения истории математики, так и ее преподавания, как разнообразно могут соприкасаться разные области математики, как тесно бывают сплетены математические факты, образуя не цепь, но сеть. [48]
Перу Клейна принадлежат такие замечательные произведения, как Высшая геометрия, Лекции об икосаэдре, Четыре знаменитые задачи древности и многие другие, в которых с удивительным мастерством, в интересной и доступной форме он рассказывает о тонких и глубоких математических фактах, теориях, методах. И в этой книге, предлагаемой вниманию читателя, Клейн выступает как мастер-популяризатор. [49]
Для неспециалистов вычислительные машины стали символом роли математики в современном мире, в то же время среди профессиональных математиков очень мало близко знакомых с вычислительными машинами. Одна из причин такого странного ( и печального) положения заключается в том, что машины делают многие вещи слишком легкими в том смысле, что человек, освобожденный от необходимости иметь столько дела с карандашом и бумагой, никогда не откроет математических фактов, которые упростили бы работу. Время от времени некоторые математики негодуют по поводу вторжения компьютеров, и не потому, что боятся потерять работу в виду замены их автоматами, а из-за опасения, что может снизиться потребность в открытиях. С другой стороны, имеются очевидные связи между компьютерами и математикой в областях численного анализа, теории чисел и статистики. [50]
Эта арифметизация математики, на которой так настаивает современная наука, является научным течением неоспоримой ценности, связанным с глубочайшим философским вопросом: может ли быть сведенным всякое математическое познание к целому числу. Не пытаясь в данный момент вынести определенный и решающий приговор по этому делу ни путем утверждения, что всякий математический факт есть просто отображение соответствующего свойства целых чисел и может быть выраженным исключительно в терминах арифметики, ни путем указания на наличие несводимых на арифметику математических фактов, о котором говорит нарождающееся в последнее время течение деарифметизации анализа - мы удовольствуемся лишь указанием на то, что концепция интуитивного или экспериментального характера обычно всегда имеет действенный интерес, даже в том случае, если она не очень хорошо поддается логическому определению, и что обычно имеет большую важность ее всестороннее изучение, и что, напротив, огромное большинство чисто-логических сущностей и понятий, встреченных на путях логического порядка, обычно бесплодны и не могут оказать никакого влияния на прогресс науки. Именно в полной мере является справедливым то давно уже сделанное замечание, что на логических путях исследования, как раз не встречают тех понятий, которые наиболее ценны, и если бы мы ограничились лишь исследованиями строго-логического характера, мы никогда бы их не имели. [51]