Cтраница 3
Собственные функции эрмитовского оператора удовлетворяют условию ортонормировки. Этот математический факт превращается в условие ортонормировки собственных функций физических величин и, в частности, в условие ортогональности базисных состояний микрообъекта. [31]
Существование общей замкнутой системы собственных функций означает коммутирование операторов. Этот математический факт связан с одновременной измеримостью соответствующих физических величин. [32]
Стиль Мартина Гарднера, бесхитростный и, казалось бы, незамысловатый, обладает неотразимой привлекательностью и для неофита, и для искушенного профессионала. Преподносимый Гарднером математический факт удивителен, почти парадоксален, таинствен и манящ. [33]
Для читателя, который знаком с необходимой математической теорией - топологией, мы приведем точное утверждение и его доказательство. Лежащие в основе математические факты рассматриваются, например, Каратеодори ( см. сноску 1 на стр. [34]
В 1915 году была опубликована релятивистская теория тонкой структуры водородных линий Зоммерфельда. Она основывалась на том математическом факте, что зависимость массы от скорости создает процессию перигелия эллиптической орбиты. Весьма интересно, что Пуанкаре уже рассматривал этот эффект. [35]
Следовательно, в данном случае уравнение и граничные условия должны удовлетворяться несчетным множеством значений р, отвечающим любым значениям скорости распространения пламени больше истинного нормального значения. Этот физический факт в точности соответствует указанному выше математическому факту существования континуума значений [ г, удовлетворяющих уравнению и граничным условиям. [36]
Следовательно, в данном случае уравнение и граничные условия должны удовлетворяться несчетным множеством значений и, отвечающим любым значениям скорости распространения пламени больше истинного нормального значения. Этот физический факт в точности соответствует рассмотренному выше математическому факту существования континуума значений ц, удовлетворяющих уравнению и граничным условиям. [37]
Особенно подчеркивается лоренцевской теорией отсутствие движения Земли относительно светового эфира [ 31; она связывает этот факт с ковариантностью исходных уравнений при определенных преобразованиях пространства и времени, которые были названы Пуанкаре [4] преобразованиями Лоренца. Для исходных уравнений ковариантность при лоренцевском преобразовании - чисто математический факт, который я хочу назвать теоремой относительности; эта теорема существенно основывается на форме дифференциального уравнения для распространения волн со скоростью света. [38]
Это совершенно естественно, если вспомнить, что математический факт коммутирования операторов имеет определенный физический смысл, который, очевидно, не может измениться при переходе от одного представления к другому. [39]
В этом месте нашего рассказа естественно заметить, что влияние математики на философию далеко не исчерпывается примером игровой философии. Достаточно вспомнить эпоху механического детерминизма, вышедшего из математического факта существования и единственности решения дифференциального уравнения движения точки с заданными начальными положением и скоростью. Можно писать целые трактаты по связи математики и философии, да, впрочем, они уже написаны. Иначе и быть не может, так как математика - один из важнейших методов решения основного вопроса философии в его гносеологической постановке: познаваем ли мир. [40]
Более часто применяются алгебраические критерии устойчивости Раута, Гурвица и Неймарка. Так как каждый из этих критериев устанавливает один и тот же математический факт с помощью операций над коэффициентами характеристического уравнения, то естественно, что один критерий должен выводиться из другого. [41]
Свободное владение, математическими методами, знания и интуиция приобретаются, накапливаются и развиваются в процессе длительной и настойчивой работы. Тот, кто последовательно овладевает математикой, кто последовательно получает твердые и точные знания математических фактов, будет уверенно двигаться дальше, и математика станет послушным инструментом в его руках. [42]
Свободное владение математическими методами, знания и интуиция приобретаются, накапливаются и развиваются в процессе систематических занятий, в результате длительной и настойчивой работы. Тот, кто последовательно овладевает математическим аппаратом, кто последовательно приобретает твердое и точное знание математических фактов легко и просто двигается дальше; усвоив одно, усваивает и последующее. Для него деревья не загораживают леса, он легко оценивает силу и красоту математических методов, приобретает уверенность в способности и умении справиться с встречающейся ему задачей, и математика делается послушным инструментом в его руках. [43]
Они хотели бы идти царской тропой, которой, как говорили древние, в математике не существует. Популяризатор, сокращая доказательства и заменяя их простым уведомлением о конечных результатах рассуждений, оказывает читателю дурную услугу, поскольку математические факты в отличие от фактов экспериментальной физики или биологии сами по себе нельзя считать ни понятными, ни интересными, по крайней мере если нет строгого определения соответствующих понятий. Таким образом, если мы захотим ограничиться кратким очерком математики, то сможем охватить лишь какой-то сравнительно небольшой ее раздел, Если же нам потребуется нарисовать общую картину хотя бы одной из наиболее важных математических дисциплин, то наш обзор разрастется до размеров обширного руководства по этой дисциплине, доступного лишь узкому кругу специалистов. [44]
Конечно, такого рода интерпретация не лишена элемента произвольности; вероятно, возможны и другие толкования вводимых структур, Тем не менее она служит хорошим эвристическим средством отыскания новых математических фактов и проливает свет на значение теории интуиционистских моделей. [45]