Cтраница 2
Пусть R - отрицательно фильтрованное кольцо, такое, что факторкольцо R / R-i является телом. [16]
С каждым кольцом R можно связать коммутативное кольцо Rab, являющееся факторкольцом этого кольца по идеалу, порожденному всеми коммутаторами. Таким образом, естественное отображение R - Rab является универсальным отображением относительно гомоморфизмов кольца R в коммутативные кольца. [17]
Доказать, что если / - идеал кольца R с единицей, то факторкольцо R / I тоже имеет единицу. [18]
ВЕЙЕРШТРАССА КОЛЬЦО - локальное гензелево псевдогеометрическое ( см. Геометрическое кольцо) кольцо, каждое факторкольцо к-рого по простому идеалу является конечным расширением регулярного локального кольца. [19]
Прямая сумма конечного множества артиновых [ нетеровых ] слева колец артинова [ нетерова ] слева факторкольцо артинова [ нетерова ] слева кольца, а также кольцо матриц над ним артиново [ нетерово ] слева. Групповое кольцо RG оказывается артиновым слева тогда и только тогда, когда кольцо R артиново слева, а группа G конечна ( [39], с. Критерий левой нетеровости группового кольца пока не найден. Артиново слева кольцо вкладывается в артиново слева кольцо с единицей в том и только том случае, когда его аддитивная группа не содержит квазициклических подгрупп ( [187], с. Аддитивная группа нильпотентного артинова кольца разлагается в прямую сумму конечного числа / 7-групп ( [187], с. Кольцо, в котором обрывается всякая убывающая цепочка подколец, оказывается счетным, а всякое его конечное подмножество порождает конечное подкольцо ( Шнейдмюллер В. И. / / Мат. [20]
Для каких из значений k, 2, 3, 4, 5, б факторкольцо Z7 [ x ] / ( x2 &) является полем. [21]
Прямая сумма конечного множества артиновых [ нетеровых ] слева колец артинова [ нетерова ] слева Факторкольцо артинова [ нетерова ] слева кольца, а также кольцо матриц над ним артиново [ нетерово ] слева. R, f2 f е R, ef 0 fe, кольца eRe и fRf артиновы [ нетеровы ] слева, eRf - конечно порожденный левый eRe - мод. Групповое кольцо RG оказывается артиновым слева тогда и только тогда, когда кольцо R артиново слева, а группа G конечна ( [39], с. Критерий левой нетеровости группового кольца пока не найден. Артиново слева кольцо вкладывается в артиново слева кольцо с единицей в том и только том случае, когда его аддитивная группа не содержит квазициклических подгрупп ( [187], с. Аддитивная группа нильпотентного артинова кольца разлагается в прямую сумму конечного числа р-групп ( [187], с. Кольцо, в котором обрывается всякая убывающая цепочка подколец, оказывается счетным, а всякое его конечное подмножество порождает конечное подкольцо ( Шнейдмюллер В. И. / / Мат. [22]
Пусть R - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, тогда простота идеала Р равносильна тому, что факторкольцо RJP есть область целостности. [23]
В частности, если А неотделимо, то по предложению 5 замыкание N нуля в А есть замкнутый двусторонний идеал, факторкольцо AIN, которое отделимо ( § 2, предложение 13), называется отделимым кольцом, ассоциированным с А. [24]
Джанс [196] показал, что Полупримарное QF-3 кольцо Л ( кольцо Л полупримарно, если оно содержит такой нильпотентный идеал N, что факторкольцо Л / jV - артиново) обладает проективным инъективным левым идеалом, являющимся ретрактом любого точного Л - модуля. Этот левый идеал называется минимальным точным модулем. Там & е доказано, что в классе артиновых колец понятия QF-3 и QF-3 колец совпадают. В частности, он выяснил строение базисного кольца и построил QF-3 кольцо, не являющееся правым QF-3 кольцом. Строение QF-3 колец изучалось и в диссертации фуллера [153] У, Мотид-зуки и Джанс [414] доказали, что артиновы QF-3 кольца характеризуются условиями: а) класс модулей без кручения в смысле Басса ( см. стр. НОША ( А, Л) 0 замкнут относительно подмодулей. [25]
В частности, не-разветвленность ф в точке x SpmR ( когда ф не имеет кратных точек на ( ф) ( е)) означает, что факторкольцо S / ( p ( px) S не имеет нильпотентов и является прямой суммой полей. [26]
ПРИМИТИВНЫЙ ИДЕАЛ, п р а в о п р и м и т и в-ный идеал - такой двусторонний идеал Р ассоциативного кольца R, что факторкольцо R / P является ( правым) примитивным кольцом. Аналогично, с помощью левых примитивных колец может быть определен левопримитивный идеал. [27]
Ба-то [10] определил полулокальное кольцо как нетерово слева кольцо А, подчиненное следующим требованиям: а) пересечение степеней джекобсоновского радикала кольца А равно нулю; б) факторкольцо кольца А по его радикалу удовлетворяет условию минимальности для левых идеалов. Позже [11] он установил, что пополнение полулокального кольца относительно топологии, определяемой степенями радикала, также полулокально. Из результатов Харада [12] вытекает, что это пополнение пред-ставимо в виде прямой суммы примарных колец и правого идеала, принадлежащего замыканию радикала кольца А. При некоторых дополнительных ограничениях для таких алгебр доказывается [13] теорема, в коммутативном случае превращающаяся в известную теорему Коэна о строении полных локальных колец. Норткот [15] описал центр наследственного слева локального кольца. [28]
Под - изоморфизмом понимается - гомоморфизм, являющийся изоморфизмом колец. Факторкольцо по такому идеалу естественным образом превращается в кольцо с инволюцией, причем естественный гомоморфизм оказывается - гомоморфизмом. [29]
Всякая открытая подгруппа аддитивной группы кольца R замкнута. Факторкольцо кольца R по любому его открытому и двустороннему идеалу дискретно. Связная компонента нуля кольца R является его двусторонним идеалом, факторкольцо по которому вполне несвязно. Локально компактное вполне несвязное топологическое кольцо обладает базой окрестностей нуля, состоящей из открытых подколец, а компактное - из открытых компактных двусторонних идеалов. [30]