Cтраница 3
Факторкольцо кольца эндоморфизмов квазиинъективного модуля по его радикалу Джекобсона регулярно, причем идемпотенты можно поднимать по модулю радикала. Если Q - антисингулярный квазиинъективный модуль, то кольцо EndQ регулярно и самоинъективно справа. Эквивалентны следующие свойства квазиинъективного правого - модуля Q; ( 1) Q эндоконечен; ( 2) Q конечно точен; ( 3) Q эндоконечен и инъективен как ( R / Апп Q) - модуль. [31]
Факторкольцо кольца эндоморфизмов квазиинъективного модуля по его радикалу Джекобсона регулярно, причем идемпотенты можно поднимать по модулю радикала. Если Q - антисингулярный квазиинъективный модуль, то кольцо EndQ регулярно и самоинъектнвно справа. Эквивалентны следующие свойства квазиинъективного правого / - модуля Q; ( 1) Q эндоконечен; ( 2) Q конечно точен; ( 3) Q эндоконечен и инъективен как ( R / Ann Q) - модуль. [32]
Если в определении группового кольца взять в качестве G полугруппу, то приходим к определению полугруппового кольца полугруппы G над кольцом R. RG и факторкольцо RG / RO называется сжатым полугрупповым кольцом. [33]
По этому полиному, как и в предыдущем примере, определим р в, полагая f ( x) pg ( x) f ( x) - g ( x) 1И) ф ( я), гДе Ф ( я) - полином в К. Доказывается, что это факторкольцо тогда и только тогда является полем, когда многочлен ф () неприводим. [34]
Для доказательства достаточно применить теорему 4 к взаимно простым делителям р; и вспомнить, что идеал, порожденный простым элементом, максимальный. Это означает, что факторкольцо по нему является полем. [35]
Так как идеал р максимален, факторкольцо р / р является полем. [36]
Иногда бывает необходимо следующее обобщение понятия локального кольца. Назовем кольцо R матрично локальным кольцом, если факторкольцо R / 1 ( R) - простое артиново кольцо. [37]
К числу колец, конечных по Дедекинду, относятся кольца, удовлетворяющие условию максимальности для аннуляторных правых идеалов или прямых сумм, кольца, удовлетворяющие условию минимальности для аннуляторных правых идеалов или прямых слагаемых, кольца, самоинъективные справа и слева. Кольцо R конечно по Дедекинду одновременно с его факторкольцом по радикалу Джекобсона. Линейное пространство над телом оказывается конечномерным тогда и только тогда, когда кольцо его линейных преобразований конечно по Дедекинду. [38]
Совершенно аналогично коммутативному случаю определяются классы смежности по двусторонним идеалам и кольцо этих классов. Для него сохраняется прежнее обозначение R / I и термин факторкольцо. [39]
ПЕРВИЧНЫЙ ИДЕАЛ - такой двусторонний идеал / кольца А, что из включения PQg I для любых двусторонних идеалов Р и Q кольца А следует, что либо / J7, либо Q: I. Идеал / кольца А первичен тогда и только тогда, когда факторкольцо по нему является первичным кольцом. [40]
Если кольцо R содержит единицу 1, то класс 1 -) - / служит единицей факторкольца. S - гомоморфное наложение колец [ Ф - алгебр ], то факторкольцо [ факторал-гебра ] R / I изоморфно кольцу [ Ф - алгебре ] S. [41]
Для любого идеала а С Z, u ф Ф ( 0), факторкольцо А / а конечно. Обозначим символом А ( а) наименьшее общее кратное порядков всех обратимых элементов этого факторкольца. [42]
Если присоединить две независимые переменные, то фактор уже не обязательно будет конечным. Но если взять неприводимый многочлен Q ( t, х) от двух переменных, то факторкольцо F [ /, x ] / ( Q ( t, x)) обладает всеми теми свойствами, о которых говорилось раньше. [43]
Если в определении группового кольца взять в качестве G полугруппу, то приходим к определению полугруппового кольца полугруппы G над кольцом R. Если полугруппа G содержит нуль 0, то множество RQ rQ r R оказывается двусторонним идеалом кольца RG и факторкольцо RG / RO называется сжатым полугрупповым кольцом. [44]
Но идеал Ф ( х) / 7 [ х ] максимален в кольце [ х ], ибо факторкольцо F [ х ] / Ф ( х) F [ x ] F ( d) является полем. Тогда из предложения Ь вытекает изоморфизм АЕ. [45]