Cтраница 2
Тогда формулы ( ii) - ( Hi) задают на фактормножестве Q / E операции сложения, вычитания и умножения, определенные этим отношением эквивалентности. Относительно указанных операций множество Q / E является полем. [16]
Теперь у нас имеется все необходимое для задания групповой структуры на фактормножестве множества Е X Е по этому отношению. Коммутативность этой группы следует из того факта, что в параллелограмме любые две противоположные стороны ( пары точек) эквивалентны. [17]
Если р - эквивалентность на множестве А, то отображение л множества А на фактормножество Л / р, при котором каждому элементу а из А ставится в соответствие класс эквивалентности, в котором этот элемент лежит, называется естественным или каноническим. Ясно, что естественное отображение является наложением. [18]
Если р - эквивалентность на множестве А, то отображение я множества А на фактормножество А / р, при котором каждому элементу а из Л ставится в соответствие класс эквивалентности, в котором этот элемент лежит, называется естественным или каноническим. Ясно, что естественное отображение является наложением. [19]
Множество А с заданным на нем нечетким отношением равенства можно, очевидно, трактовать как нечеткое фактормножество. Нечеткое равенство - это то же, что нечеткая эквивалентность, по которой происходит факторизация. [20]
Еслп Я - нормальная подгруппа в G, то операция умножения аН - ЪН аЪН наделяет фактормножество G / H строением группы, называемой факторгруппой G по Я. [21]
Показать, что множества из двух, трех и четырех элементов имеют соответственно 2, 5 и 15 различных фактормножеств. [22]
Показать, что множества из двух, трех и четырех элементов имеют соответственно 2, 5 и 15 различных фактормножеств. [23]
Таким образом, нечеткость выступает в двух видах: в виде нечеткого подмножества четкого множества и в виде нечеткого фактормножества четкого множества. [24]
Пусть X - топологическое пространство, R - отношение эквивалентности в X, Y - X / R - фактормножество X по R и ф: Х - - У - канонические отображение. [25]
Показать, что эта эквивалентность согласуется с операциями в R [ u ], и следовательно, определяет на фактормножестве Е структуру кольца. Можно воспользоваться упражнением 1.12 или же воспроизвести рассуждения курса: Пизо и Заманский, Алгебра, гл. [26]
Проверяется, что р - эквивалентность, и, более того, конгруэнция кольца Z - Следовательно, на фактормножестве Z / P определены сложение и умножение, и имеем естественный гомоморфизм Z-Z / P - Так как все кольца составляют многообразие, и, следовательно, гомоморфный образ кольца - снова кольцо, то и Z / P есть кольцо. Оно состоит из п элементов. Доказывается, что Z / P тогда и только тогда поле, когда п простое. [27]
Стоит отметить, что это следствие имеет смысл благодаря тому, что радикал radAA является идеалом, так что на фактормножестве Л / гаеЛд можно ввести естественную структуру алгебры. [28]
Поскольку ( alb) ( b / a) ( ab / ba) и ( ablba) E ( I / I), наше фактормножество является полем. [29]
Таким образом, разбиение на классы эквивалентности, индуцируемое конгруэнцией, в самом естественном смысле слова сохраняет структуру множества, факторизуе-моего данной конгруэнцией, позволяя в применении к получаемому фактормножеству говорить обо всех операциях, одноименных операциям, определенным на исходном множестве. Больше того, мы можем в этом случае считать, что на фактормножестве определены просто те же самые операции ( ср. [30]