Cтраница 3
Примеры 1) А - множество зерен, насыпанных в мешки Для зерен а и 6 положим ( а, 6) е р, если они лежат в одном мешке Тогда классом эквивалентности служит множество зерен, лежащих в одном мешке, а фактормножеством Л / р - множество мешков 2) А - множество всех целых чисел, АО и Ai состоят из всех четных и нечетных чисел соответственно. [31]
Какую же именно шкалу возможных значений этого ( как и любого другого) физического параметра мы выберем в качестве основной, зависит в конечном счете только от того, насколько обширны по объему множества значений этого параметра ( понимаемого как абстрактная, объективная характеристика рассматриваемой системы), объединяемые в классы эквивалентности, постулируемые нами в качестве элементов индуцируемого соответствующим разбиением фактормножества результатов измерения. [32]
Поэтому фактормножество не является подмножеством в X, будьте внимательны. [33]
Представим себе фактормножество М / ср нарисованным на бумаге. Элементы фактормножества М / ср мы будем представлять себе кружками, в которых написаны слова, входящие в изображаемый класс. [34]
V; если же существуют и биективное отображение множества М на часть множества А и биективное отображение множества N на часть множества М ( в этом последнем случае обязательно существует и биективное отображение М на Л), то говорят, что мощности множеств М и N одинаковы ( что множества М и N равно мощны); в этом последнем случае в отношении понятия мощности множества М и jV не различаются. Таким образом, отношение порядка вводится в фактормножестве множества множеств по отношению равномощности. [35]
В следующем параграфе определятся отношение эквивалентности на множестве Z, а фактормножество этого отношения играет абсолютно фундаментальную роль в этой книге. Как и в случае дробей, классы эквивалентности будут бесконечны, а нам предстоит делать вычисления с ними. Но теперь Вы знаете, что нет причин для волнения. [36]
Таким образом, разбиение на классы эквивалентности, индуцируемое конгруэнцией, в самом естественном смысле слова сохраняет структуру множества, факторизуе-моего данной конгруэнцией, позволяя в применении к получаемому фактормножеству говорить обо всех операциях, одноименных операциям, определенным на исходном множестве. Больше того, мы можем в этом случае считать, что на фактормножестве определены просто те же самые операции ( ср. [37]
Примером расслоения может служить множество Р, на котором задано отношение эквивалентности - ( см. Приложение 4) так, что классы эквивалентности гомеоморфны между собой. В этом случае слой образован точками, эквивалентными друг другу, базой является фактормножество Р / -, а точками базы - классы эквивалентности. [38]
Отсюда следует, что на степенных функциях, относительно которых в А выполняется слабый алгоритм, действует группа Л и стабилизатор любой из этих функций, скажем функции dx, является подгруппой Ьх группы Л, которая реализуется линейными преобразованиями соответствующего множества свободных порождающих X. Таким образом, рассмотрение степенных функций сводит общую проблему изучения группы Л к изучению фактормножества t / l / Lx. Однако об этом множестве в настоящее время известно очень мало. [39]
Теперь же, пользуясь только что введенными ал гебраическими концепциями, мы будем рассматривать любую упрощенную карту как итог факторизации идеальной. Конечно, разбиение на классы эквивалентности может быть индуцировано не только конгруэнцией, но и произвольным отношением эквивалентности, так что и в этом общем случае имеет смысл говорить о фактормножестве, порожденном данным отношением эквивалентности. И рассчитывать на гомоморфизм произвольного фактормножества ( по произвольному отношению эквивалентности) исходному ( факторизуемому) множеству было бы, разумеется, по меньшей мере странно. [40]
Иначе говоря, конгруэнция - это отношение эквивалентности, подстановочное для любой определенной на дан-ком множестве операции. Такие отношения эквивалентности представляются в некотором смысле наиболее естественными: они ( в отличие от произврльных отношений эквивалентности, введенных, быть может, каким-либо искусственным образом) позволяют ввести на фактормножестве по данной конгруэнции все те операции, которые были определены на исходном множестве. [41]
Примеры с або коммутативных решеток получаются по следующей общей схеме. Пусть А - произвольное непустое множество, 3 - квазипорядок на нем и е ( х, у) еЛ X Л х 3 у &. В фактормножестве А / к индуцируется частичный порядок: [ а ] [ Ь ] тогда и только тогда, когда а Ь в А. Предположим, что частично упорядоченное множество ( А / к, ) оказалось решеткой. [42]
Принципиально иной подход к трактовке процесса выкидывания несущественных деталей как гомоморфного преобразования исходной сложной системы связан с чисто алгебраической идеей факторизации исходного множества. Поскольку каждый класс эквивалентности определяется ( порождается) любым из своих членов, множество классов эквивалентности есть, очевидно, множество различных типов эквивалентности данного множества. Его-то и называют фактормножествам исходного множества по данному отношению эквивалентности. [43]
Теперь же, пользуясь только что введенными ал гебраическими концепциями, мы будем рассматривать любую упрощенную карту как итог факторизации идеальной. Конечно, разбиение на классы эквивалентности может быть индуцировано не только конгруэнцией, но и произвольным отношением эквивалентности, так что и в этом общем случае имеет смысл говорить о фактормножестве, порожденном данным отношением эквивалентности. И рассчитывать на гомоморфизм произвольного фактормножества ( по произвольному отношению эквивалентности) исходному ( факторизуемому) множеству было бы, разумеется, по меньшей мере странно. [44]
Если Л - эквивалентность, то множество А распадается на непересекающиеся классы эквивалентных элементов, или на классы эквивалентности. RAXB задает на своих областях определения и значений отношения эквивалентности, фактормножества up к-рым равномощны. [45]