Cтраница 4
Для зерен а и Ь положим ( а, Ь) е р, если они лежат в одном мешке. Тогда классом эквивалентности служит множество зерен, лежащих в одном мешке, а фактормножеством А / р - множество мешков. А - множество всех целых чисел, Ай и At состоят из всех четных и нечетных чисел соответственно. [46]
Некоторых трудностей удается избежать, несколько разгрузив понятие угла: угол становится не частью плоскости, а упорядоченной парой лучей с общим началом. Однако часть трудностей остается; они связаны со сложением двух углов. Во избежание этих затруднений приходится сначала вводить некоторое отношение эквивалентности на множестве пар лучей и затем определять сложение на фактормножестве по этому отношению. Эта процедура математически совершенно корректна, но довольно громоздка и мало доступна большинству учащихся средней школы. [47]
Покажем, что существование левого сопряженного Н вытекает из теоремы о сопряженном функторе. Остается лишь проверить существование разрешающего множества для каждого топологического пространства X. Но любое непрерывное отображение пространства X в хаусдорфово пространство Y пропускается через свой образ, который является подпространством в У и потому хаусдорфов. Этот образ является фактормножеством для X с некоторой топологией, поэтому существует не более чем малое множество ( неизоморфных) сюръекций X - - Y на хаусдорфово пространство Y. Это значит, что разрешающее множество существует. Полученный левый сопряженный функтор Н сопоставляет каждому пространству X хаусдорфово пространство НХ и непрерывное отображение rj: X - НХ, универсальное среди непрерывных отображений из X в хаусдорфовы пространства. Из универсальности отображения г ] вытекает его сюръективность, поэтому НХ можно описать как наибольшее хаусдорфово факторпространство для X. Если само X хаусдорфово, то можно положить НХ X и ту 1, и тогда Н является сопряженным и обратным слева для вложения. [48]
Пусть X - топологическое пространство и R - отношение эквивалентности в X. Множество всех классов эквивалентности, обозначаемое обычно через X / R, называют, фактормножеством множества X по модулю R. Фактор топологией в X / R называют сильнейшую топологию в множестве X / R, при которой отображение я: X - X / R непрерывно. [49]