Cтраница 3
Здесь используется следующий легко доказываемый факт: любой Л - мо-дуль изоморфен фактормодулю некоторого свободного Л - модуля. [31]
Nj влекут за собой либо Nk Ni, либо Nk Nj) и фактормодуль N - / Nt прост. [32]
Точно так же, понятия изоморфизма, гомоморфизма, ядра, образа, фактормодуля, прямой суммы - не зависели от пред-лоложения коммутативности. [33]
Конечно, может случиться, что в М вообще нет подмодулей N с простым фактормодулем M / N. [34]
MI, 2) каждый подмодуль модуля М выделяется прямые слагаемым; 3) каждый фактормодуль модуля М изсыэрфен его подмодулю. [35]
Назовем модуль М малопроективным, если для любого его подмодуля А и любого эндоморфизма ф фактормодуля М / А найдется такой эндоморфизм модуля М, что яф ifut, где я - естественный гомоморфизм модуля М на М / А. [36]
Адзумайя [59] рассмотрел такой Л - модуль Л, что Л изоморфно прямой сумме его фактормодулей. Оказалось, что А совпадает с ЕЕ ( А) ( АЕ ( А)) - Найдены условия, при которых этим свойством обладает каждый точный Л - модуль. В той же работе исследуется, когда ковариантные функторы Нот ( Р, -) и Р Е ( Р) ( -), где Р - некоторый Л - модуль, осуществляют изоморфизм категорий Л - и Е ( Я) - модулей. [37]
Следствие 2.8. Если в модуле М есть всего один максимальный подмодуль, то М изоморфен фактормодулю главного модуля. [38]
Правый - модуль G называется образующим [ ко-образующим ], если всякий правый - модуль изоморфен фактормодулю прямой суммы [ подмодулю прямого произведения ] некоторого множества экземпляров модуля С. Примером кообразующего служит прямое произведение инъективных оболочек всех попарно неизоморфных простых правых - модулей. Этот кообразуюший вкладывается в любой другой кообразующий. [39]
Заметим, что фактически мы установили, что MR rad M - наименьший подмодуль в М, фактормодуль по которому полупрост. [40]
Правый / - модуль G называется образующим [ ко-образующим ], если всякий правый - модуль изоморфен фактормодулю прямой суммы [ подмодулю прямого произведения ] некоторого множества экземпляров модуля G. Образующим является, например, само кольцо R, рассматриваемое как правый / - модуль. Примером кообразующего служит прямое произведение инъективных оболочек всех попарно неизоморфных простых правых / - модулей. [41]
Доказать, что если А - конечномерная F-алгебра, а М - такой конечно порожденный А-модуль, что фактормодуль M / MJ ( A) прост, то модуль М неразложим. Показать, что существует такой гомоморфизм 6 из Ед ( М) в EA ( M / MJ ( A), что ядро Кег 6 состоит из нильпотентных элементов. [42]
Пусть N - подмодуль полупростого модуля М, n: M - rM / N - проекция М на фактормодуль. [43]
Модуль Л оказывается конечно порожденным тогда и только тогда, когда г ad A - косущественный подмодуль модуля А, а фактормодуль A / radA кон чно порожден ( [45], гл. [44]
А, лежит Л - модуля А, то факторгруппа А / Б естественным образом превращается в Л - модуль - фактормодуль модуля А по подмодулю В. [45]