Cтраница 4
У всех рассмотренных систем точек, кроме осей переносов, содержатся также и другие элементы симметрии. Их возникновение в данном случае объясняется тем, что в качестве фигуры, подвергаемой переносам, была взята точка, которой мы интуитивно склонны приписывать наивысшую для конечных фигур симметрию. [46]
Совокупность операций симметрии, которые можно выполнить на одной и той же фигуре, называют группой симметрии. Группы симметрии, составленные из одних закрытых операций, называются точечными. Точечные группы описывают все возможные случаи симметрии конечных фигур, в частности молекул. Группы симметрии, составленные как из закрытых, так и открытых операций, действующих во всех трех измерениях пространства, называют пространственными. Именно эти группы описывают все возможные случаи симметрии кристаллических структур. [47]
Изометрические преобразования бесконечных фигур называются иначе движениями. Движения, сохраняющие у фигур по меньшей мере одну точку инвариантной, относятся к классу ортогональных преобразований. Все встречавшиеся нам до сих пор группы симметрии бесконечных и конечных фигур - пространственные и точечные - относятся, следовательно, к группам движений и к их ортогональным подгруппам. [48]
Трансляция является одной из операций симметрии для бесконечного кристаллического пространства. Элементами симметрии - будут центры инверсии ( отвечающие отражению в точке), оси симметрии 1-го, 2, 3, 4 и 6-го порядков и плоскости симметрии. Наряду с поворотными осями и плоскостями зеркального отражения, характерными и для конечных фигур, в бесконечном пространстве возникают новые элементы симметрии, которые можно рассматривать как сумму поворотов или отражений и трансляций. Такими элементами симметрии являются винтовые оси и плоскости скользящего отражения. [49]
Представления о симметрии в том или ином аспекте используются в искусстве, математике и других областях науки. Химик изучает симметрию распределения электронной плотности в атомах и молекулах, а значит, и симметрию молекул как таковых. Здесь мы намерены рассмотреть чисто геометрический аспект симметрии, а именно симметрию конечных фигур, таких, как полиэдры и повторяющиеся узоры. В той мере, в какой эти фигуры и узоры отражают расположение атомов в молекулах и кристаллах, они характеризуют и симметрию распределения валентных электронов этих атомов. Симметрия в ограниченном смысле ( в котором мы будем использовать этот термин) связана с соотношениями между различными частями твердого тела. Если имеется определенная связь между отдельными частями фигуры, говорят, что она обладает определенными элементами симметрии. [50]
В совершенном кристалле определенная группа атомов - его мотив - периодически повторяется в трех измерениях пространства, оставаясь идентичным самому себе и сохраняя свою ориентацию. Бесконечные фигуры, возникающие в результате таких повторяющихся трансляций, могут иметь значительно более разнообразные комбинации элементов симметрии, чем конечные фигуры. Федоров ( 1890 г.) и Шенфлис ( 1891 г.) проанализировали и классифицировали все бесконечные пространственные группы симметрии, к которым должны относиться все возможные кристаллические структуры. [51]
В фигурах и телах конечных размеров симметрия проявляется в том, что равные части фигуры могут быть совмещены друг с другом либо путем поворота всей фигуры в целом, либо зеркальным отражением в плоскости, пересекающей фигуру, либо одновременным проведением обеих этих операций - поворота и отражения в плоскости, перпендикулярной оси поворота. В частности, поворот на 180, сопровождаемый отражением, приводит к инверсии фигуры. Обычно именно эти операции и соответствующие им геометрические образы - элементы симметрии - и берутся за основу при описании групп симметрии конечных фигур. [52]