Cтраница 2
Если данные условия являются необходимыми и достаточными для определения искомой фигуры, то задача называется определенной. Она может в этом случае иметь одно, два и больше решений; в соответствии с этим ее называют однозначной, двузначной, многозначной. [16]
Но, может быть, можно построить какую-либо часть искомой фигуры. Приглядываясь к рисунку 24, видим, что в прямоугольном треугольнике BCD катет CD и гипотенуза ВС являются данными. [17]
Итак, если условие задачи не предусматривает определенного расположения искомой фигуры относительно данных фигур то условимся искать только все неравные между собой фигуры, удовлетворяющие условиям задачи. Это означает, что задача считается решенной, если: 1) построено некоторое число неравных между собой фигур Фр ФЕ удовлетворяющих условиям задачи, и 2) доказано, что всякая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, равна одной из этих фигур. При этом считается, что задача имеет п различных решений. [18]
Иногда задача не имеет решений потому, что на искомую фигуру наложено слишком много условий. Например, нельзя, вообще говоря, построить окружность, проходящую через четыре заданные точки, или построить треугольник, зная три его стороны и один из углов. Задачи такого рода называются переопределенными. [19]
Рассмотренные в § 1 задачи характерны тем, что искомыми фигурами являются точки. Ясно, что никакая задача, где требуется провести какую-либо прямую, не может быть решена исключительно циркулем: искомая прямая не может быть в действительности проведена, если разрешено употреблять только циркуль. Но положение прямой на плоскости определяется любыми двумя ее точками. Поэтому естественно считать, что прямая в известном смысле уже найдена, как только удалось построить две ее точки. Такая точка зрения находится в соответствии с теоретическими принципами геометрии и во многих случаях удовлетворяет практическим потребностям чертежника или геодезиста. Круг задач, разрешимых с помощью циркуля, при такой постановке вопроса значительно расширяется. Например, циркуль позволяет разделить пополам данный угол или найти перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку, так как в этих задачах линейка употребляется только для выполнения последней операции - для вычерчивания прямой. [20]
Иногда ставится также задача: выяснить, при каких условиях искомая фигура будет удовлетворять тем или иным дополнительным требованиям. Например, может быть поставлен вопрос: при каких условиях искомый треугольник будет прямоугольным или равнобедренным. [21]
В других методах на данных фигурах или каких-нибудь построениях строится искомая фигура или делается какое-либо построение. В методе же обратности на искомой фигуре или на искомых построениях строятся данные фигуры, а затем переносятся на данные фигуры. Иногда на искомом построении приходится строить фигуры не равные, а подобные данным фигурам; построенную фигуру остается перенести на данные фигуры ( Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение. [22]
Умножив площадь данной фигуры на квадрат коэффициента подобия, получим площадь искомой фигуры. [23]
Метод заключается в том, что, повернув какую-либо данную или искомую фигуру вокруг некоторого центра на некоторый угол, анализ рассматриваемой фигуры сводят к анализу более простой фигуры, а потом выполняют обратное вращение и в результате получают искомую фигуру. Центр и угол поворота следует выбирать так, чтобы в результате поворота совместились элементы одинаковой величины. [24]
Для ориентировки полезно знать, сколько независимых условий обычно достаточно для определения искомой фигуры. Известно, что для построения треугольника ( если по условию задачи его положение не фиксировано) достаточно знать три условия, например две стороны и угол. Можно показать, что для построения произвольного л-угольника нужно знать 2 / г - 3 условий ( см - об этом, например, [25], стр. Так, для построения четырехугольника достаточно задать пять условий: например, указать, что он представляет трапецию, и задать две его стороны и две диагонали. [25]
Предположив, что задача решена, делают от руки приблизительный чертеж: искомой фигуры и затем, внимательно рассматривая начерченную фигуру, стремятся найти такие зависимости между данными задачи и искомыми, которые позволили бы свести задачу к другим, известным ранее. Эта самая важная часть решения задачи, имеющая целью составить план решения, носит название анализа. [26]
Правильность решения задачи на построение по планиметрии ( с параметрами) проверяется путем построения искомой фигуры при различных значениях данных параметров. [27]
Правило разложения условии задачи заключается в том, что все условия, которым должна отвечать искомая фигура, рассматриваются отдельно. Каждому условию тогда отвечает какое либо геометрическое место, а искомая фигура получается как пересечение всех геометрических мест. [28]
Приняв одну из аффинно-соответственных фигур в качестве подобной искомой фигуре, строим единственную фронтальную проекцию искомой фигуры. [29]
Обычный способ применения метода подобия состоит в том, что часть требований, предъявляемых к искомой фигуре, отбрасывается, так что остающимся требованиям удовлетворяет бесчисленное множество фигур, подобных искомой, каждую из которых мы можем построить. [30]