Cтраница 3
В [42, 28.1] приводится следующая характеризация этого понятия в терминах аннуляторов. [31]
Лт-модуля ( тХя) - матриц замкнут относительно взятия двойного аннулятора в ( п X 1) - матрицах. [32]
Для fe 2: пусть / i и f2 - минимальные аннуляторы i и Xj, н [ - анпулятор их суммы. [33]
S ], для любого у факторполугруппа Лу / Лу есть аннулятор [ левый аннулятор, правый аннулятор ] факторполугруппы S / Лу, а на предельных местах стоят объединения предыдущих членов. [34]
Для А 2: пусть Д - и / 2 - минимальные аннуляторы x - i и д 2 и / - аннулятор их суммы. Применив / 2 ( Л), получим / 2 ( Л) / ( / 1) 0, откуда полином / 2 ( /) / ( /) делится на Д () и, следовательно, / ( 7) делится на Д Ч); аналогично, f ( t) делится на / 2 ( О И, следовательно, / ( /) Д ( 0 / г ( 0 - Дальше - индукция. [35]
Очевидно, что индекс ( ап: вп) равен порядку аннулятора а группы On в ап. [36]
Ясно, что если два ненулевых разложимых вектора пропорциональны, то их аннуляторы совпадают. Поэтому описанное отображение определено корректно. [37]
Назовем ( тхп) - матрицу а неособенной справа, если ее правый аннулятор ( в Rn) равен нулю; аналогично определяются неособенные слева матрицы. Таким образом, связанные подмодули соответствуют в предыдущем смысле неособенными матрицами. [38]
Свойства ( i) - ( iv) непосредственно следуют из определения аннулятора. [39]
Будем говорить, что является ковек-тором общего положения, если размерность его аннулятора наименьшая. [40]
Хорошо известно, что радикал Джекобсона кольца А можно определить как пересечение аннуляторов всех правых неприводимых Л - модулей. Оказывается, что аналогичным путем можно определить и радикал Бэра. Он определяется как пересечение аннуляторов неприводимых интерверсивных Л - модулей ( Л - модуль М называется интерверсивным, если xabAxbaA для всех х 6 М, а. Заметим, что кортюидальный радикал является специальным радикалом, определяемым классом всех тел. Правда, как эти радикалы, так и радикал Кертеса [100], уже не являются радикалами в смысле Куроша. Можно еще упомянуть работу Се-Бан - Цзе [101], в которой рассматриваются нилыкольца, радикальные в смысле Бэра. [41]
S ], для любого у факторполугруппа Лу / Лу есть аннулятор [ левый аннулятор, правый аннулятор ] факторполугруппы S / Лу, а на предельных местах стоят объединения предыдущих членов. [42]
Действительно, пусть a § R тогда aR R / n, где и-правый аннулятор элемента а в R. Это показывает, что правый идеал и есть гомоморфный образ кольца R, следовательно, и-главный правый идеал и, значит, он, так же как и а, свободен. Таким образом, доказано, что R-область целостности. Далее, если R - правое кольцо Оре, то понятно, что оно обладает свойством ИБЧ. Если же R не является правым кольцом Оре, то в силу предложения 0.5.4 оно содержит правые идеалы, изоморфные модулям kR отсюда и из ( d) следует, что модули kR при k n имеют единственный ранг. [43]
Аналогичная топология в некоммутативном случае вводится на множестве Spec R примитивных идеалов, являющихся аннуляторами неприводимых Д - модулей. [44]
Предложение 11.3. Кортеж ( ц, U, г, V) из ядер и аннуляторов, соответствующий автомату А, является согласованным. [45]