Cтраница 1
Финслер ( 1918) дал первое обстоятельное исследование таких пространств. [1]
Геометрия Финслера как теория поля локальных гиперповерхностей в Хп Тр, Семинара по векторн. [2]
Из рассуждений Финслера совершенно не вытекает, что формально неразрешимые предложения могут возникать и в формализмах, рассматриваемых в теории доказательств. [3]
Для пространств Финслера паши результаты идут, однако, дальше исего, что когда-либо было достигнуто с помощью стандартного тензорного подхода. Эти результаты помогут полностью покончить С предрассудком, заключающимся в том, что неримаиовы пространства слишком общи для того, чтобы можно было установить какие-либо яркие колкретные их свойства: каждый результат одного из образцовых разделов римановой геометрии, а именно теории пространств отрицательной кривизны, начатой работой Адамара [1] от 1898 г., распространяется па пространства Финслера, и то же относится почти ко всем работам Кон-Фоссена, касающимся полной кривизны и поведения геодезических на поверхностях. [4]
Дифференциальная сингулярная метрика Финслера, определяемая в Хп полем локальных сингулярных гиперповерхностей класса сингулярности п-т - 1 Уч зап. [5]
Формализмы, которые рассматривает Финслер, обладают такими большими семантическими изобразительными возможностями, что в них может быть получен обыкновенный парадокс Ришара. [6]
Так как в пространствах финслера нет выделенной меры углов и нет ничего такого, что имело бы много общих свойств с евклидовой мерой углов, то путь к результатам, основлиным на теореме Гаусса - Бонне, кажется прегражденным. Однако тщательная проверка вскрывает, что многие из этих исследований не пользуются другими свойствами меры угла, кроме аддитивности меры, выполняющейся для сумм конечного числа углов с общей вершиной, и тем, что мера тс характеризует развернутые углы. Едва ли где еще используется больше, чем то дополнительное обстоятельство, что почти развернутые углы имеют меру, равномерно приближающуюся к тс. Очень легко естественно определить меру углов на ноперхпостях Финслера, обладающую этими свойствами. [7]
Вагнеру принадлежит идея следующей трактовки геометрии Финслера. [8]
При т ареальное пространство становится пространством Финслера, при т п - 1 оно называется пространством с гипер-ареальной метрикой или пространством Картана. [9]
В § 41 мы ввели в пространствах Финслера понятие объема, которое для плоскости Минковского дает: площадь Минковского пропорциональна площади в произвольной ассоциированной евклидовой геометрии. Множитель пропорциональности определен так, что площадь Минковского единичного круга оказалась равной тс. Сейчас мы докажем, что существование площади с этим свойством характеризует геометрию Минковского. [10]
Объем ч геометрии Минковского определяет объем в пространствах Финслера, так кок позволяет указать элемент объема и каждой точке. Это определяет также площадь, так как метрика пространства индуцирует метрику Финслера на любой поверхности, погруженной в пространство. Так как мы желаем, чтобы площадь была внутренним понятием, то она должна быть определена как объем иоперхности, рассматриваемой как финслерово пространство меньшего числа измерений. Относительно этих понятий было получено достаточно много результатов для геометрии Минковского, для того чтобы можно было быть уверенным н существовании важных инвариантов в геометрии финслеропых пространств. Однако то направление, в котором развивалась эта теория, не столь непосредственно связано с интересующими нас проблемами. [11]
С этой точки зрения он изучил двухмерные пространства Финслера с конечными группами голономии, перенеся на связность (4.16) понятие о группе голономии, принадлежащее Картану. В а г н е р [23] рассмотрел с этой же точки зрения так называемые гомологические преобразования метрики Финслера, в аналитической форме применяемые в методе Каратеодори в вариационном исчислении. [12]
Риминово пространство локально представляет собой евклидово, н пространство Финслера локально является пространством Минков-ского. [13]
Таким образом, различие между римановым пространством и пространством Финслера заключается в том, что первое ведет себя локально, как евклидово, а последнее - локально, как пространство Минковского; или, аналитически, что та роль, которую в римановом случае играет эллипсоид, теперь отводится произвольной ( за исключением некоторых свойств дифференцируемости) выпуклой поверхности, в случае выполнения ( е) имеющей центр симметрии, совпадающий с началом - пространства. Таким образом, увеличение общности при переходе от римановых пространств к пространствам Фипслера оказывается весьма значительным. [14]
Аналогично тому, как это делалось им при построении геометрии Финслера [10], пространство с ( в общем случае) неполной шперареальной - метрикой изучается на основе систематического использования понятия индикатрисы. [15]