Cтраница 2
Но во всяком случае заслуживает серьезного внимания та имеющая принципиальное значение мысль, которую Финслер - со ссылкой на существование в достаточно богатых выразительными возможностями формализованных языках дедуктивно неразрешимых предложений - выдвинул здесь на первый план, связав ее с вопросом о непротиворечивости. Он подчеркнул, что доказательство непротиворечивости какого-либо формализма в обычном смысле этого слова еще не дает - никаких гарантий от противоречий, потому что противоречие может заключаться в формальной выводимости отрицания некоторого выразимого в данном формализме, но не выводимого предложения, которое, однако, с содержательной точки зрения может быть признано истинным. [16]
Некоторую конкретизацию этой сложной теории представляет детально исследованный В. В. Вагнером [12] частный случай, когда п-мерное пространство Финслера заменяется трехмерным евклидовым, в каждой точке которого задана коническая поверхность. [17]
В частности, проходящая через х кривая, параллельная несущей Т ( Р 7) геодезической g в смысле Финслера ( см. Финслер [1], стр. Бервальд [1]), пересекает T ( q, s) при малых рх в некоторой точке ух. [18]
Еще Бервальд [72] заметил, что пространства Картана с At - 0 двойственны в некотором смысле аналогичному классу пространств Финслера, а В. В. Вагнер [14] нашел необходимые и достаточные условия подобной двойственности между т-мерны-ми и ( п-т) - мерными ареальными метриками. Двойственность между пространствами Финслера и Картана исследована Моо-роод [116, 117], показавшим, что при определяемом ею соответствии совпадают многие величины двойственных Пространств. Как оказалось, эти результаты представляют интерес только для неположительно определенных пространств Картана, так как положительно определенные пространства Картана такого типа согласно теореме Дейке [85] являются римановыми пространствами. [19]
В частности, проходящая через х кривая, параллельная несущей Т ( Р 7) геодезической g в смысле Финслера ( см. Финслер [1], стр. Бервальд [1]), пересекает T ( q, s) при малых рх в некоторой точке ух. [20]
В дальнейшем В. В. В а г н е р [22] разработал весьма сложную теорию еще более общего пространства, в котором, взамен метрики Финслера, конус допустимых направлений снабжен оснащением: каждой образующей его сопоставлено определенное п - m - мерное направление. Кроме того, в пространстве предполагается заданным параллельное перенесение весьма сложной конструкции. [21]
Огромное большинство исследований по внутренней геометрии использует, или может быть так видоизменено, чтобы использовать лишь одну из этих функций и поэтому может быть распространено на пространства Финслера. [22]
Точнее, автор не знает ни одной теоремы римавовой геометрии, доказательство которой не связано с условиями дифференцируемости и которая не является частным случаем теоремы, верной и в пространстве Финслера. Однако в высшей степени вероятно, что некоторые результаты А. Д. Александрова имеют такой характер, что подчеркивает их особое положение в дифференциальной геометрии. [23]
С помощью указанных операций строится 2т - индекс-ный метрический тензор Ивамото [96] gi ( m ], [ m ] ( x р М), аналогичный метрическому тензору в геометрии Финслера. [24]
Условия ( а), ( Ь), ( с), ( d), ( j), ( k) определяют то, что обычно называют пространством Финслера. Для теорем и целом приходится добавлять условие ( i) конечной компактности, часто называемой нормальностью, а требования ( j) относительно класса делаются более сильными во всех тех случаях, когда доказательство этого требует. [25]
Во введении к этой главе мы упоминали уже, что требования, предъявляемые к пространству для того, чтобы оно было дезарго-вым, более стеснительны для римановых пространств, чем для пространств более общих, обычно называемых пространствами Финслера. Для полного понимания содержания теоремы Бельтрами необходимо поэтому точно уяснить, что отличает риманово пространство от пространства Финслера. [26]
Желая сделать книгу, для пользы учащихся, не очень объеми стой, я должен был отказаться от мысли поместить в ней изложение теории гексагональной конфигурации ( которая представляет интерес хотя бы для демонстрации того, что прямая геометрия не окаменела, как слишком часто думают), аффинной и проективной линейчатой геометрии, а также теории пространств Финслера и Кавагучи. Наоборот, повторения казались мне необходимыми, поэтому понятия параллельного переноса и ковариантной производной излагаются сначала при изучении линейного элемента ds2 поверхности, а потом повторяются с общей точки зрения в третьей части. [27]
Без предпосылки о связности легко можно обойтись, однако ограничение многоугольными областями необходимо. Ибо в пространствах Финслера, даже при сильных условиях дифференцируемости как для метрики, так и для угловой меры ( или в римановых пространствах с угловыми мерами, отличными от римаповой), аддитивная функция множеств, определенная на множествах, допускающих симпли-циальное разложение, с помощью углового избытка, вообще говоря, не может быть продолжена до вполне аддитивной функции множеств, определенной на борелевых множествах. Полный избыток не может поэтому рассматриваться как интеграл. [28]
Еще Бервальд [72] заметил, что пространства Картана с At - 0 двойственны в некотором смысле аналогичному классу пространств Финслера, а В. В. Вагнер [14] нашел необходимые и достаточные условия подобной двойственности между т-мерны-ми и ( п-т) - мерными ареальными метриками. Двойственность между пространствами Финслера и Картана исследована Моо-роод [116, 117], показавшим, что при определяемом ею соответствии совпадают многие величины двойственных Пространств. Как оказалось, эти результаты представляют интерес только для неположительно определенных пространств Картана, так как положительно определенные пространства Картана такого типа согласно теореме Дейке [85] являются римановыми пространствами. [29]
Объяснение этих, на первый взгляд поразительных, фактов заключается в том, что в рнмановых пространствах кривизна имеет много различных функций. Неправдоподобно, чтобы и в пространствах Финслера все эти функции обслуживались единственным понятием; скорее следует ожидать, что различным функциям будут соответствовать различные понятия, случайно совпадающие для римановых пространств. [30]