Cтраница 3
В работе Гу Чао-хао и Су Бу-цина [19] найдена - первая а вторая вариации интеграла (3.1) для ареального Пространства со связностью, удовлетворяющей некоторым условиям, а в последующих работах Су Бу-цина ( 129 - 132 ] эти условия обновляются так, что указанные вариации принимают наиболее простой вид. Этим условиям удовлетворяют связности Картана в геометрии Финслера и в пространстве с гиперареальной метрикой. [31]
Объем ч геометрии Минковского определяет объем в пространствах Финслера, так кок позволяет указать элемент объема и каждой точке. Это определяет также площадь, так как метрика пространства индуцирует метрику Финслера на любой поверхности, погруженной в пространство. Так как мы желаем, чтобы площадь была внутренним понятием, то она должна быть определена как объем иоперхности, рассматриваемой как финслерово пространство меньшего числа измерений. Относительно этих понятий было получено достаточно много результатов для геометрии Минковского, для того чтобы можно было быть уверенным н существовании важных инвариантов в геометрии финслеропых пространств. Однако то направление, в котором развивалась эта теория, не столь непосредственно связано с интересующими нас проблемами. [32]
Наименее ясным свойством является аксиома параллельных. Хопфа принадлежит к немногим теоремам римановоа геометрии, не имеющим аналогов в пространствах Финслера. [33]
Во введении к этой главе мы упоминали уже, что требования, предъявляемые к пространству для того, чтобы оно было дезарго-вым, более стеснительны для римановых пространств, чем для пространств более общих, обычно называемых пространствами Финслера. Для полного понимания содержания теоремы Бельтрами необходимо поэтому точно уяснить, что отличает риманово пространство от пространства Финслера. [34]
С этой точки зрения он изучил двухмерные пространства Финслера с конечными группами голономии, перенеся на связность (4.16) понятие о группе голономии, принадлежащее Картану. В а г н е р [23] рассмотрел с этой же точки зрения так называемые гомологические преобразования метрики Финслера, в аналитической форме применяемые в методе Каратеодори в вариационном исчислении. [35]
Для пространств Финслера паши результаты идут, однако, дальше исего, что когда-либо было достигнуто с помощью стандартного тензорного подхода. Эти результаты помогут полностью покончить С предрассудком, заключающимся в том, что неримаиовы пространства слишком общи для того, чтобы можно было установить какие-либо яркие колкретные их свойства: каждый результат одного из образцовых разделов римановой геометрии, а именно теории пространств отрицательной кривизны, начатой работой Адамара [1] от 1898 г., распространяется па пространства Финслера, и то же относится почти ко всем работам Кон-Фоссена, касающимся полной кривизны и поведения геодезических на поверхностях. [36]
По двум соображениям имя последнего не фигурирует в загла-1) ии книги. Но-нерпых, заголовок Геометрия геодезических ясно выражает метод исследования и внутренний аспект. Во-вторых, термин пространства Финслера для многих означает не только тип пространства, по также и определенный подход к его исследованию: пространство рассматривается как множество линейных элементов, которым сопоставлены евклидовы метрики. Основные проблемы связаны с параллелизмом. Несмотря на большой успех диссертации Фипслера [ 1J, последующее развитие этого направления бедно простыми геометрическими фактами в такой степени, что самое их существование в перимаповой геометрии было поставлено под сомнение. [37]
Основы теории пространств с метрикой (2.1) были заложены А. Кавагути в работах 30 - х годов [101, 102, 104], в честь которого они и были названы пространствами Кавагути. Картана, примененный им при построении геометрии Финслера, А. Кавагути рассматривает некоторое расслоенное пространство, базой которого является пространство линейных элементов. [38]
В действительности же только черный факт поразителен; второй в известной степени представляет собой следствие первого. Если бы в настоящей книге опустить все, что не имеет места в римаповых пространствах или становится там тривиальным, а остальные факты изложить лишь в применении к этим пространствам, то книга все еще осталась бы интересной, так как она содержала бы, помимо многих фактов, новых и для римаповых пространств, многочисленные хороню известные результаты Адамара, Картана, Кои-Фоссепа, Нильсена и других. Таким образом, отсутствие конкретных геометрических фактов в пространствах Финслера сравнительно с римановыми оказывается мифом. [39]
Все же задача построения двухиндексного метрического тензора gij из метрической функции в общем случае е была решена, поэтому были рассмотрены классы пространств, где такой тензор существует. Прежде всего были изучены ареаяьные пространства метрического класса, введенные Дебевером [82] ( см. также обзор В. И Близникаса [1]), являющиеся естественны-м обобщением пространств Финслера, Картана и ареальных пространств, порожденных римановой метрикой. [40]
Эквивалентным утверждением для римановых пространств является следующее: если для любых двух плоскостных элементов dPi и df, проходящих через р, существует движение, которое оставляет неподвижной точку р и переводит dl в / Р2, и если то же самое верно для точки q, то пространство имеет постоянную кривизну. Теорема имеет локальный характер, как почти все теоремы римано-вой геометрии. Чтобы условия могли быть применены к двумерным пространствам и пространствам Финслера, они должны быть видоизменены так, чтобы - в нашей терминологии - существовали сферы S ( /, 8p) и S ( 7, S. Утверждается, что некоторая окрестность точки р, скажем S ( p, v), элементарна. [41]
Во введении к настоящей главе, § 26, мы объяснили, почему этот случай особенно интересен. Здесь мы добавим следующее замечание: Морз и Хедлунд [2] доказали теорему Хопфа о торе при более сильном условии о том, что не существует фокальных точек; в нашей терминологии ( см. § 25) это означает, что окружности в Р пыпуклы. Вопрос о том, можно ли распространить теорему Морза и Хедлунда на пространства Финслера, если установить, что их метрика есть метрика Минковского, приводит к проблеме, которую мы и § 25 оставили нерешенной. [42]
Рассматривается возможность приписать отсутствие обрезания спектра космических лучей сверхвысоких энергий нарушению обычной релятивистской теории при скоростях, близких к скорости света. Показано, что обычная релятивистская теория допускает обобщение, не противоречащее основным постулатам специальной теории относительности. Отличие развиваемой схемы от обычной проявляется в возникновении анизотропии пространства 4-импульсов или, на другом языке, в замене псевдоевклидова пространства-времени пространством Финслера. Для объяснения отсутствия обрезания спектра безразмерный параметр, характеризующий отклонение от обычной теории, должен быть выбран порядка 10 -, что близко к величине константы связи квантовой теории гравитации. [43]
Так как в пространствах финслера нет выделенной меры углов и нет ничего такого, что имело бы много общих свойств с евклидовой мерой углов, то путь к результатам, основлиным на теореме Гаусса - Бонне, кажется прегражденным. Однако тщательная проверка вскрывает, что многие из этих исследований не пользуются другими свойствами меры угла, кроме аддитивности меры, выполняющейся для сумм конечного числа углов с общей вершиной, и тем, что мера тс характеризует развернутые углы. Едва ли где еще используется больше, чем то дополнительное обстоятельство, что почти развернутые углы имеют меру, равномерно приближающуюся к тс. Очень легко естественно определить меру углов на ноперхпостях Финслера, обладающую этими свойствами. [44]
В частности, § 37 посвящен теории параллельных и показывает, например, что неположительность кривизны обусловливает симметрию и транзитивность отношения асимптотичности. Затем мы устанавливаем тот фундаментальный факт, что Q-пространство с иыпуклыми оболочками и свойством инвариантности областей имеет прямое универсальное накрывающее пространство. В § 39 мы получаем предложения относительно фундаментальных групп пространств с выпуклыми оболочками, например: абелева подгруппа ( содержащая больше чем один элемент) фундаментальной группы 0-пространства со строго выпуклыми оболочками и инвариантностью областей - бесконечная циклическая. Наконец ( § 41), мы показываем, что для римановых пространств неположительная кривизна в классическом смысле, в нашем смысле и выпуклость оболочек равнозначны и также, что на поверхностях Финслера инвариант, называемый там кривизной, неположителен, если оболочки выпуклы. Кроме того, некоторые хорошо известные неравенства для объема шара и площади сферы распространяются на пространства Финслера. [45]