Cтраница 2
Каждая квадратичная форма может быть получена из симметричной билинейной формы, причем такая билинейная форма определяется единственным образом. [16]
Например, скалярное произведение двух векторов является симметричной билинейной формой, так как ху-ух. [17]
Конечномерное векторное пространство с заданной на нем невырожденной симметричной билинейной формой, не обязательно знакоопределенной, называют псевдоевклидовым пространством. [18]
Напомним, что если в линейном пространстве V фиксирована симметричная билинейная форма А, то элементы х, у G V, для которых А ( х, у) 0, называют ортогональными относительно А. Аналогично подпространства V, V2 С V называют ортогональными, если А ( х, у) 0 для любых х G V, у G Vi. Если форма А невырождена, то для таких YI, V2 пересечение V П Vi состоит лишь из нуля. Ортогональным дополнением подпространства V С V относительно А называется подпространство Vi С V, состоящее из тех у Е V, для которых А ( х, у) 0 при всех х G V. Если форма А - вырожденная, то у подпространства V и его ортогонального дополнения Vi пересечение может оказываться подпространством ненулевой размерности. [19]
Пусть в n - мерном линейном пространстве R задана невырожденная симметричная билинейная форма В ( х у), у которой соответствующая квадратичная форма В ( х х) является знакопеременной. [20]
Если вместо квадратичной формы нужно привести к диагональному виду симметричную билинейную форму, то билинейную форму заменяем соответствующей квадратичной формой, последнюю приводим к диагональному виду и вычисляем матрицу перехода. [21]
Теорема 7.8. Пусть В ( х, у) - симметричная билинейная форма, заданная в евклидовом пространстве V. V квадратичная форма В ( х, х) может быть представлена в виде следую. [22]
Поэтому формы ( 7) составляют базис в подпространстве всех симметричных билинейных форм. [23]
В чем состоит метод нахождения канонического базиса и канонического вида симметричной билинейной формы. [24]
Доказать, что скалярное произведение в вещественном евклидовом пространстве представляет собой симметричную билинейную форму, у которой соответствующая квадратичная форма является положительно определенной. [25]
Теорема 7.8, Пусть В ( х, у) - симметричная билинейная форма, заданная в евклидовом пространстве V. V квадратичная форма В ( х, х) может быть представлена в виде следую. [26]
Теорема 7.8, Пусть В ( х, у) - симметричная билинейная форма, заданная в евклидовом пространстве V. Тогда в пространстве V существует такой ортонормированный базис ek и можно указать такие вещественные числа А. V квадратичная форма В ( х, х) может быть представлена в виде следую. [27]
В линейном пространстве над полем М для любых двух квадратичных или симметричных билинейных форм, одна из которых - положительно определенная, существует такой базис, в котором матрица одной из них - единичная, а друзой - диагональная. В самом деле, принимая положительно определенную симметричную билинейную форму ( данную, или ту, из которой получена данная положительно определенная квадратичная форма) за скалярное произведение, мы сможем построить такой ортонормированный базис, в котором матрица второй квадратичной или симметричной билинейной формы диагональна. [28]
В самом деле, ведь этим свойством обладает тензор, определяемый симметричной билинейной формой. [29]
Евклидовым векторным пространством называется вещественное векторное пространство V с выделенной на нем симметричной билинейной формой ( х, у) - ( х у) такой, что соответствующая квадратичная форма х н - - ( х х) ( или просто ( х х)) положительно определена. [30]