Cтраница 3
Линейное пространство Ъпнад полем R называется псевдоевклидовым, если в нем фиксирована некоторая симметричная билинейная форма ( х, у) ранга п, называемая скалярным произведением. [31]
Для билинейной формы ( х, у), как и для всякой симметричной билинейной формы в - мерном пространстве, существует канонический базис (7.43) У. Уп - Условие ( у (, yk) О каноничности базиса при i k есть в данном случае условие ортогональности векторов У [ и у. Ун Уъ) Уп образуется в данном случае из п взаимно ортогональных векторов. Это и доказывает теорему. [32]
Рассмотрим сначала произвольный ортонормированный базис и запишем в нем матрицу данной квадратичной или симметричной билинейной формы. Рассмотрим теперь самосопряженный оператор с такой же матрицей и построим ортонормированный базис из его собственных векторов. В нем матрица оператора диагональна. [33]
Покажите что, скалярное произведение ( х, у), введенное в, является симметричной билинейной формой, а соответствующая ей квадратичная форма - положительно определенной. [34]
Псевдоевклидовым пространством называется n - мерное линейное пространство L, в котором задано скалярное произведение посредством невырожденной симметричной билинейной формы А ( х, у), полярной знакопеременной квадратичной форме. [35]
Псевдоевклидовым пространством называется n - мерное линейное пространство L, в котором задано скалярное произведение посредством невырожденной симметричной билинейной формы Л ( х, у), полярной знакопеременной квадратичной форме. [36]
Псевдоевклидовым пространством называется n - мерное линейное пространство L, в котором задано скалярное произведение посредством невырожденной симметричной билинейной формы А ( х, у), полярной знакопеременной квадратичной форме. [37]
Псевдоевклидовым пространством называется n - мерное линейное пространство I /, в котором задано скалярное произведение посредством невырожденной симметричной билинейной формы А ( х, у), полярной знакопеременной квадратичной форме. [38]
Мы знаем, что скалярное произведение вектора с собой есть положительно определенная квадратичная форма, и обратно, каждая симметричная билинейная форма, которой соответствует положительно определенная квадратичная форма, может быть принята за скалярное произведение. Поэтому всякая теорема о положительно определенных квадратичных формах является одновременно некоторой теоремой о векторах в евклидовом пространстве. [39]
В отличие от определенных в § 4 форм в вещественном пространстве, для которых соответствующее утверждение справедливо лишь для симметричных билинейных форм. [40]
Таким образом, из свойств 1 - 3 следует, что скалярное произведение ( ж, 2 /) есть симметричная билинейная форма. [41]
Отметим, что одна и та же квадратичная форма получается из различных билинейных форм, но среди них имеется ровно одна симметричная билинейная форма. Матрица квадратичной формы равна матрице этой симметричной билинейной формы. [42]
Если в кольце Л элемент 2 имеет обратный 1 / 2, то д - - Ъч есть взаимно однозначное соответствие между квадратичными и симметричными билинейными формами на модуле V. Если V - свободный Л - модуль ранга п и g - К. [43]
Построение канонического базиса, приведенное в 7.31, имеет тот недостаток, что оно не дает возможности непосредственно, по элементам матрицы Л ( /) симметричной билинейной формы А ( х у) в заданном базисе / Л Л - / л) указать коэффициенты X - и координаты векторов канонического базиса. Метод Якоби, излагаемый далее, позволяет находить эти коэффициенты и координаты векторов искомого канонического базиса. [44]
Построение канонического базиса, приведенное в 7.31, имеет тот недостаток, что оно не дает возможности непосредственно, по элементам матрицы A ( f) симметричной билинейной формы А ( х у) в заданном базисе / fi fz, - / указать коэффициенты X - и координаты векторов канонического базиса. Метод Якоби, излагаемый далее, позволяет находить эти коэффициенты и координаты векторов искомого канонического базиса. [45]