Формула - след
Cтраница 3
Другими словами, асимптотическое число Лефшеца равно log X, за исключением тех случаев, когда в формуле следа происходят сокращения, связанные с чередованием знаков. [31]
Из этого условия следует, что к функциям ф ( g) и ф - ( g) применима формула следа. [32]
Формула следа для группы вещественных матриц 2-го порядка ( другими методами) была получена Зельбергом [26] и известна в литературе под названием формула следа Зельберга. [33]
На основании формулы следа мы получим сейчас формулы для кратностей, с которыми входят в Т ( g) представления дискретной серии. [34]
Первой работой по теории следов была статья [36], где был вычислен регуляризованный след оператора Штурма - Лиувилля. Оказалось, что формулы следов обыкновенных несамосопряженных дифференциальных операторов, зависящих сложным образом от спектрального параметра, могут быть получены как следствия из формул регуляризованных сумм корней некоторого класса целых функций. [35]
Эту формулу часто называют формулой следа. [36]
Хотя в системе с гиперболическими орбитами экспоненциальное уменьшение весового множителя снижает расходимость, это не компенсирует экспоненциального увеличения числа периодических орбит с ростом их длины. В результате следует признать, что гутцвиллеровская формула следа не может быть использована в форме, представленной выше. Проблема расходимости служила препятствием к ее применению в течение примерно двух десятилетий. Окончательно выход из этой ситуации был найден в восьмидесятых годах, когда были развиты различные подходы, позволяющие обойти проблему расходимости. [37]
Последний пример ясно демонстрирует, что расчет квантового спектра путем прямого вычисления сумм по периодическим орбитам крайне неэффективен. Существует еще один способ улучшить сходимость формулы следа: для этого нужно перегруппировать члены суммы. [39]
Точность расчета, проведенного с использованием периодических орбит, оказывается даже лучше, чем можно было ожидать. В самом деле, при получении формулы следа был использован метод стационарной фазы, который, строго говоря, применим лишь в квазиклассической области. Тем не менее в рассмотренном примере разложение по циклам (8.3.12) даже низколежащие уровни воспроизводит с точностью до нескольких процентов. [40]
Как уже было сказано выше, доказанная в предыдущем параграфе теорема 1 позволяет получать формулы регуляризованных следов для широкого класса задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке со сложным вхождением спектрального параметра. Представляет значительный интерес вопрос о получении формул регуляризованных следов дифференциальных операторов с частными производными. В данном параграфе мы изложим решение этой задачи, основанное на теории возмущений абстрактных дискретных операторов. [41]
Соответствующие формулы в математической литературе принято называть формулами следа. Посмотрим сначала, как решается эта задача в случае системы двух тел. [42]
Как нам известно из материалов третьей главы, теория случайных матриц позволяет находить различные спектральные корреляционные функции хаотических систем и, в частности, дисперсию числа уровней, а также спектральную жесткость. С другой стороны, в седьмой главе была получена формула следа Гутцвиллера, устанавливающая связь характеристик спектра квантовой системы с ее периодическими орбитами. [43]
В настоящей главе после обсуждения ряда новых понятий будет дан вывод формулы следа Гутцвиллера, устанавливающей связь между квантовым спектром и периодическими орбитами системы. В следующей главе будут рассмотрены следствия и некоторые применения формулы следа. [44]
Рассмотрим отдельно члены этой формулы. Из условия 1) вытекает, что вклад в формулу следа от гиперболических элементов равен нулю. [45]
Страницы: 1 2 3 4