Cтраница 2
Для нахождения хг и х ( применяется формула Тэйлора, причем для определения х [ эту формулу надо продифференцировать. [16]
Для нахождения х и х [ применяется формула Тэйлора, причем для определения х [ эту формулу надо продифференцировать. [17]
Для нахождения хг и х [ применяется формула Тэйлора, причем для определения х [ эту формулу надо продифференцировать. [18]
Для нахождения хг и х [ применяется формула Тэйлора, причем для определения х ( эту формулу надо продифференцировать. [19]
В этом случае исследование членов второго порядка формулы Тэйлора, вообще говоря, не приводит к окончательным результатам. В случае, если функция и обладает в точке Р частными производными третьего порядка, можно обратиться к исследованию дальнейших членов формулы Тэйлора. [20]
Благодаря этой связи между интерполяционной формулой и формулой Тэйлора приобретает новый смысл принятый в геометрии термин соприкасающаяся парабола, а именно: соприкасающаяся парабола, имеющая с данной кривой в некоторой ее точке касание га-го порядка, имеет с этой кривой в указанной точке и - f - l общих совпадающих точек пересечения. [21]
Насколько первые я - f - 1 членов формулы Тэйлора действительно дают достаточно хорошее приближение к функции, будет, конечно, зависеть от того, как мал остаточный член; поэтому следует сосредоточить внимание на оценке этого остаточного члена. Естественным средством для такой оценки является теорема о среднем значении из интегрального исчисления [ гл. [22]
Имея то или другое выражение для остаточного члена формулы Тэйлора, мы уже получаем возможность конкретно оценивать степень точности, даваемую этой формулой. Чтобы посмотреть, как это происходит, мы теперь применим формулу Тэйлора к некоторым простейшим элементарным функциям. [23]
При таком выводе формул для остаточного члена больше выделяется характер формулы Тэйлора как обобщения теоремы о среднем значении; кроме того, имеется то в теоретическом смысле важное преимущество, что достаточно предполагать только существование, но не непрерывность производной ( гг - - 1) - го порядка. [24]
Формула ( А) и ее частный случай формула В называются формулами Тэйлора. А) выражает f ( x - - h) приближенно в виде целого многочлена степени п относительно Л, а формула ( В) выражает f ( х) с помощью многочлена степени я относительно х, с добавлением ( в каждой из этих формул) остаточного члена. Упомянутый целый многочлен называется аппроксимирующим полиномом или приближающим многочленом. Приближающий многочлен характеризуется тем, что при Л 0 [ формула ( А) ] или при х 0 [ формула ( В) ] его значение и значения его первых п производных совпадают с соответствующими значениями функции и ее первых п производных. [25]
Если хотят увеличить точность, то достаточно вместо линейной функции взять по формуле Тэйлора аппроксимирующий многочлен второй или более высокой степени, и тогда получатся поправки более высокого порядка и соответствующие оценки погрешности. [26]
В формулах ( А) и ( В) остаточный член и его выражение играют существенную роль, в отличие от формул Тэйлора для целого многочлена, которые являются точными и не содержат поэтому остаточного члена. [27]
Все соображения, которые побудили нас в свое время ( в главе 9) создать для функций одной переменной представление с помощью формулы Тэйлора, остаются в полной силе и для функций любого числа переменных: и здесь, как там, для теоретических и практических целей очень удобно иметь возможность приближенного представления данной функции в виде многочлена той или другой степени. [28]
Это действительно можно было бы сделать, повторяя с соответствующими изменениями и усложнениями весь тот путь, который в главе 9 привел нас к формуле Тэйлора для функций одной переменной. [29]
Установленную нами таким образом формулу ( Т), предпосылкой которой служит только существование / ( га) ( а), обычно называют формулой Тэйлора. [30]