Cтраница 3
Обратим внимание на то обстоятельство, что его можно получить, приравнивая нулю члены второго порядка в разложении функции f ( x, у) по формуле Тэйлора. [31]
Мы можем, однако, гораздо быстрее и проще прийти к намеченной цели, если вместо того, чтобы начинать все сначала, воспользуемся тем, что нами уже построена одномерная формула Тэйлора. Путь, которым мы при этом пойдем, выгоден еще и по той причине, что он протекает совершенно одинаково для функций любого числа переменных, и только ради сокращения записи мы ограничиваемся случаем функции двух переменных. [32]
Для того чтобы возможно было разложить функцию в окрестности некоторой точки х в бесконечный ряд Тэйлора, необходимо во всяком случае, чтобы в этой окрестности, в частности при х, существовали производные любого порядка; но это необходимое условие ни в коем случае не является достаточным. Rn формулы Тэйлора может с возрастанием п не стремиться к нулю, как бы мала ни была область, в которой мы хотим иметь разложение в ряд. [33]
Следовательно, в формуле Тэйлора обращаются в нуль все коэффициенты аппроксимирующего полинома, какое бы число п мы ни взяли; иными словами, остаточный член всегда равен самой функции и, следовательно, за исключением точки х О, не стремится к нулю с возрастанием п, так как функция при всяком х Ф О имеет положительное значение. [34]
Тем самым полностью решена общая задача интерполяции заданной функции. Ньютона переходит почленно в формулу Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Таким образом, формула Тэйлора является предельным случаем интерполяционной формулы Ньютона. [35]
Эта громоздкость еще значительно увеличивается, когда мы от функций двух переменных переходим к функциям трех и более переменных. Поэтому в целях более краткой записи формулы Тэйлора часто прибегают к удобному символическому приему. [36]
Имея то или другое выражение для остаточного члена формулы Тэйлора, мы уже получаем возможность конкретно оценивать степень точности, даваемую этой формулой. Чтобы посмотреть, как это происходит, мы теперь применим формулу Тэйлора к некоторым простейшим элементарным функциям. [37]
При этом мы предполагали, что решение дифференциального уравнения является настолько гладким, что допускает представление по формуле Тэйлора до членов нужного порядка, причем производные, входящие в остаточный член, ограничены. При меньшей гладкости решения погрешность аппроксимации может иметь меньший порядок. [38]
Между тем ясно, что для любого конкретного расчета, в котором мы заменяем выражение f ( a - - h) многочленом Pn ( h), нам будет желательно знать именно, как велика происходящая от этой замены погрешность при тех определенных значениях а и h, с которыми нам фактически приходится иметь дело. Мы должны поэтому искать способа оценки такой погрешности, не довольствуясь тем указанием на характер ее изменения, какое дает нам формула Тэйлора. [39]
В этом случае исследование членов второго порядка формулы Тэйлора, вообще говоря, не приводит к окончательным результатам. В случае, если функция и обладает в точке Р частными производными третьего порядка, можно обратиться к исследованию дальнейших членов формулы Тэйлора. [40]
Интерполяционную формулу применяют всегда в том случае, если функцию, значения которой в определенных точках известны, требуется выразить для промежуточной области между этими точками с примерно одинаковым приближением. При такой экстраполяции тем менее можно рассчитывать на хорошее приближение, чем более удалена точка от промежуточной области. В формуле Тэйлора мы имеем дело, некоторым образом, с полной экстраполяцией, и поэтому формула Тэйлора часто практически пригодна для представления функции только в непосредственной окрестности данной точки. [41]
Тем самым полностью решена общая задача интерполяции заданной функции. Ньютона переходит почленно в формулу Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Таким образом, формула Тэйлора является предельным случаем интерполяционной формулы Ньютона. [42]
Для построения приближенных конечно-разностных уравнений часто пользуются также методом неопределенных коэффициентов. Для этой цели составляют линейную комбинацию с неопределенными коэффициентами значений и в какой-нибудь совокупности узлов. Затем все эти, значения и по формуле Тэйлора выражают через значения функции и и ее производных в одной и той же точке ( /, х), которая может и не принадлежать сетке. Получается выражение, линейное относительно функции и ( t, x) и ее производных. [43]
Всякий степенной ряд представляет внутри своего интервала сходимости непрерывную функцию, имеющую непрерывные производные любого порядка. Рассмотрим теперь обратную задачу: о разложении заданных функций в степенные ряды. В принципе для этого всегда можно воспользоваться формулой Тэйлора, но в отдельных случаях часто возникают затруднения при нахождении n - й производной и при оценке остаточного члена. [44]
В § 1 было показано, что представление функции / ( лг) в виде ряда Тэйлора не всегда возможно даже в том случае, когда эта функция имеет производные любого порядка. Однако, как показал Вейерштрасс, любую непрерывную функцию, о производных которой нет нужды делать какие-либо предположения, всегда возможно приближенно представить с какой угодно точностью многочленами. Повышение точности, естественно, требует, как и по формуле Тэйлора, повышения степени аппроксимирующего многочлена. [45]