Cтраница 3
Пусть ЗР ( 3 -) обозначает подалгебру алгебры 91 ( ST), состоящую из всех элементов [ а, где а - какая-нибудь открытая формула. [31]
Грубо говоря, а является предваренной, если все встречающиеся в а кванторы собраны ( вместе с соответствующими связанными переменными) в начале формулы, а остальная часть формулы а является выражением, полученным из некоторой открытой формулы подстановкой связанных индивидных переменных ( соответствующих кванторам) вместо некоторых свободных индивидных переменных. В частности, каждая открытая формула является предваренной О - пустая последовательность. [32]
Грубо говоря, а является предваренной, если все встречающиеся в а кванторы собраны ( вместе с соответствующими связанными переменными) в начале формулы, а остальная часть формулы а является выражением, полученным из некоторой открытой формулы подстановкой связанных индивидных переменных ( соответствующих кванторам) вместо некоторых свободных индивидных переменных. В частности, каждая открытая формула является предваренной Q - пустая последовательность. [33]
Выражение, составленное из элементарных формул с помощью конъюнкций, дизъюнкций и отрицаний по обычным правилам, будет называться открытой формулой, а выражение, составленное из элементарных формул только с помощью конъюнкций и дизъюнкций, будет называться положительной открытой формулой. [34]
Грубо говоря, а является предваренной, если все встречающиеся в а кванторы собраны ( вместе с соответствующими связанными переменными) в начале формулы, а остальная часть формулы а является выражением, полученным из некоторой открытой формулы подстановкой связанных индивидных переменных ( соответствующих кванторам) вместо некоторых свободных индивидных переменных. В частности, каждая открытая формула является предваренной О - пустая последовательность. [35]
Грубо говоря, а является предваренной, если все встречающиеся в а кванторы собраны ( вместе с соответствующими связанными переменными) в начале формулы, а остальная часть формулы а является выражением, полученным из некоторой открытой формулы подстановкой связанных индивидных переменных ( соответствующих кванторам) вместо некоторых свободных индивидных переменных. В частности, каждая открытая формула является предваренной Q - пустая последовательность. [36]
Пусть 5 0 - такое пропозициональное исчисление, что множество У о всех пропозициональных переменных в 90 и множество Е имеют одинаковую мощность. По определению хб является открытой формулой исчисления 6 Так как 5 отображает Ус на Я, то каждая открытая формула из У имеет вид 5Й с подходящей формулой 6 ъ & а. По теореме 6.2 б является пропозициональной тавтологией в том и только в том случае, когда 5б является предикатной тавтологией. [37]
Пусть Уй - такое пропозициональное исчисление, что множество V0 всех пропозициональных переменных в 5.0 и множество Е имеют одинаковую мощность. По определению s6 является открытой формулой исчисления 6 - Так как s отображает Vo на С, то каждая открытая формула из у имеет вид si с подходящей формулой 6 в Ра. По теореме 6.2 б является пропозициональной тавтологией в том и только в том случае, когда s6 является преднкатной тавтологией. [38]
Для каждой формулы а из У существует такая последовательность ( 3), что выполняются условия 1 и 2 и ан является открытой формулой. Поэтому для каждой формулы а существует открытая формула ее, полученная из а элиминацией кванторов. [39]
Поэтому для каждой формулы а существует открытая формула а, полученная из у. [40]
Открытые формулы являются простейшими формульными предикатами, инвариантными относительно перехода к под - и надмоделям в любых классах К. Если класс К характеризуется универсальными аксиомами, то открытые формулы будут единственными формульными предикатами, обладающими указанными свойствами. Однако в классе алгебр это уже перестает быть справедливым, так как требуемой инвариантностью обладают все термы. [41]
Свойство ( 1) очевидно; ( 2) легко выводится из того факта, что во всякой линейно упорядоченной структуре для любых двух элементов а и & имеет место в точности одно из соотношений а Ь, а - Ъ, Ъ а. Свойство ( 3) доказывается индукцией по длине открытой формулы ф, и мы оставляем это читателю. [42]
По определению значениями отображения ря являются при любом предикате р одновременно открытые и замкнутые подмножества пространства X. Поэтому ( см. последнюю часть IV, 1.4) для любой открытой формулы а и для любой оценки V множество я ( У) одновременно открыто и замкнуто в X. [43]
Теорема 16.4 называется теоремой об элиминации кванторов в формальных доказательствах. Теорема 16.4 утверждает, что если У - Открытая теория и открытая формула а имеет в У формальное доказательство, то а имеет также формальное доказательство, состоящее из бескванторных формул. [44]
Теорема 16.4 называется теоремой об элиминации кванторов в формальных доказательствах. Теорема 16.4 утверждает, что если У - открытая теория и открытая формула а имеет в У формальное доказательство, то а имеет также формальное доказательство, состоящее из бескванторных формул. [45]