Cтраница 2
Что же касается схем формул, соответствующих тождественно истинным формулам исчисления высказываний, то у нас рассматриваются лишь те из них, в которых из числа символов исчисления высказываний фигурируют только конъюнкция, импликация, эквивалентность и отрицание. [16]
Этот множитель уже никак не может быть тождественно истинной формулой. Следовательно, формула ( 4), а значит, и формула ( 3) не могут быть примитивно истинными в слабом смысле. Но тогда в силу теоремы 2 § 9 аксиома полной индукции не выводима из остальных аксиом арифмети ки, что и требовалось доказать. [17]
Мы пришли к противоречию, так как отрицание тождественно истинной формулы не может быть выполнимо ни на какой области. [18]
Следовательно, эта дизъюнкция получается подстановкой из некоторой тождественно истинной формулы исчисления высказываний. [19]
Сохранится и свойство дизъюнкции быть результатом подстановки в тождественно истинную формулу исчисления высказываний, потому что производимые замены сохраняют совпадение термов, а потому и элементарных формул. [20]
Таким образом, все возможные случаи приводят к тождественно истинным формулам. На рис. 7.2 а изображено семантическое дерево, соответствующее формуле / з, а на рис. 7.26 показана часть семантического дерева, которая фактически использовалась для проверки общезначимости. [21]
Формулу, которая получается в результате подстановки из какой-либо тождественно истинной формулы, мы называем формулой, истинной в логике высказываний. [22]
Всякая нумерическая формула, получающаяся в результате подстановки из тождественно истинной формулы, является истинной Всякая нумерическая формула, получающаяся из какой-либо аксиомы системы ( S) в результате подстановки цифр вместо свободных переменных, является истинной. Если 31 и 21 - e - sB являются истинными нумерическими формулами, то 33 также является истинной формулой. [23]
Из этого определения немедленно получается и определение для понятия тождественно истинной формулы исчисления высказываний. [24]
& Фш ] у / [ W ] ] есть тождественно истинная формула. [25]
Вывод, в котором в качестве исходных формул используются только тождественно истинные формулы исчисления высказываний, а в качестве прочих вспомогательных средств - только правила подстановки вместо формульных переменных без аргументов, правило повторения и схема заключения, мы называем выводом средствами исчисления высказываний или при помощи средств исчисления высказываний. [26]
В этом утверждении мы можем заменить схемы формул, соответствующие тождественно истинным формулам, самими этими формулами, считая, что используемые в выводах схемы применяются к формулам исчисления высказываний, не содержащим знака дизъюнкции. Это вытекает из упомянутого в конце предыдущего параграфа результата, утверждающего, что выводы, производимые с помощью схем, применяемых к формулам исчисления высказываний, протекают совершенно аналогично выводам, применяемым к схемам формул, получающимся из соответствующих формул в результате замены формульных переменных буквами, обозначающими произвольные формулы. [27]
В самом деле, допустим, что 51 не является тождественно истинной формулой. В таком случае ее отрица - ние 51 выполнимо на некоторой области. Так как 51 также удовлетворяет условиям теоремы, то найдется область, содержащая не более 2п элементов, на которой формула 51 выполнима. Следовательно, 51 не может быть истинной на этой области, что противоречит условию. Итак, предположение, что 51 не является тождественно истинной, приводит к противоречию, что и требовалось доказать. [28]
Если бесконечная дизъюнкция ( конечных) формул узкого исчисления предикатов есть тождественно истинная формула, то тождественно истинной является некоторая конечная дизъюнкция указанных формул. [29]
Аксиомы исчисления высказываний и, следовательно, их приведенные формы являются тождественно истинными формулами алгебры высказываний. Поэтому все они примитивно истинны и, следовательно, регулярны. [30]