Cтраница 4
Априори ниоткуда не следует, что охарактеризованное подобным формальным путем множество всех тождественно истинных формул пропозиционального исчисления будет совпадать с множеством всех тождественно истинных формул, определенных выше содержательно. Поскольку формальная тождественная истинность формул устанавливается некоторой процедурой вывода или доказательства, их называют также ( формально) доказуемыми формулами, или ( формальными) теоремами. [46]
Действительно, если рассматривается группа - GL ( 2, К), то в качестве формул 91, Z можно взять любые тождественно истинные формулы. [47]
Для правила заключения мы здесь, по существу, повторили рассуждение § 10, где доказывали, что правило заключения, применяемое к тождественно истинным формулам в смысле алгебры высказываний, приводит к таким же формулам. [48]
Отсюда получаем, что 9301 - 1 Ф [ уо1 где YoM - YoM х РУ ( Ф), т.е. Ф - не тождественно истинная формула. [49]
Итак, мы показали, что: 1) все аксиомы суть тождественно истинные формулы, 2) применяя к тождественно истинным формулам правила вывода, мы получаем также тождественно истинные формулы. Отсюда следует, что все выводимые формулы исчисления высказываний, рассматриваемые как формулы алгебры высказываний, являются тождественно истинными. В таком случае ясно, что если формула 51 выводима в исчислении высказывании, то формула 51 не может быть выводима, так как 51 - тождественно истинная формула, а 31 тогда, наоборот, принимает значение Л при всех значениях входящих переменных высказываний. Итак, непротиворечивость исчисления высказываний доказана. [50]