Cтраница 3
Итак, мы показали, что: 1) все аксиомы суть тождественно истинные формулы, 2) применяя к тождественно истинным формулам правила вывода, мы получаем также тождественно истинные формулы. Отсюда следует, что все выводимые формулы исчисления высказываний, рассматриваемые как формулы алгебры высказываний, являются тождественно истинными. В таком случае ясно, что если формула 51 выводима в исчислении высказывании, то формула 51 не может быть выводима, так как 51 - тождественно истинная формула, а 31 тогда, наоборот, принимает значение Л при всех значениях входящих переменных высказываний. Итак, непротиворечивость исчисления высказываний доказана. [31]
Каждая исходная формула рассматриваемого доказательства либо получается в результате подстановки из какой-либо тождественно истинной формулы исчисления высказываний или из собственной аксиомы, не содержащей кванторов, либо является критической формулой или формулой е-равенства. [32]
Априори ниоткуда не следует, что охарактеризованное подобным формальным путем множество всех тождественно истинных формул пропозиционального исчисления будет совпадать с множеством всех тождественно истинных формул, определенных выше содержательно. Поскольку формальная тождественная истинность формул устанавливается некоторой процедурой вывода или доказательства, их называют также ( формально) доказуемыми формулами, или ( формальными) теоремами. [33]
Таким же образом доказывается, что применение второго правила связывания квантором к тождественно истинной формуле приводит к тождественно истинной формуле. [34]
Правила вывода ( И, 12 и 15) также приводят к тождественно истинным формулам при условии тождественной истинности их посылок. Тождественная истинность посылки С Р ( х) может иметь место лишь в двух случаях: либо, когда высказывание С ложно, либо когда высказывание Р ( х) всегда истинно. [35]
Легко видеть, что применение этих схем к формулам исчисления высказываний дает только тождественно истинные формулы. [36]
При таком способе изложения правило, позволяющее брать в качестве исходных формул любые тождественно истинные формулы исчисления высказываний, расширяется: в качестве исходных формул допускаются любые формулы, получающиеся из тождественно истинных формул исчисления высказываний в результате каких-либо подстановок. [37]
Собственные аксиомы формализма ( в том числе и специальные аксиомы равенства), а также тождественно истинные формулы исчисления высказываний обладают тем свойством, что любые получающиеся из них в результате подстановки формулы без переменных при естественном распределении истинностных значений являются истинными формулами. Отсюда привычным рассуждением мы получаем, что заключительная формула любого нормированного доказательства, если в ней не встречаются е-сим-волы, при естественном распределении истинностных значений тоже является истинной формулой. [38]
При рассмотрении логики предикатов с содержательной точки зрения ( глава III) мы ввели понятие тождественно истинной формулы, отвечающей, по своему смыслу, понятию тавтологически истинного высказывания. [39]
Поставим вопрос о соотношении между понятием выводимой формулы описанного исчисления и рассмотренным в главе III содержательным понятием тождественно истинной формулы. Нетрудно видеть, что каждая выводимая формула исчисления предикатов является в то же время и тождественно истинной в наивном теоретико-множественном смысле. Во-первых, очевидно, что аксиомы исчисления предикатов тождественно истинны. Во-вторых, применение правил вывода исчисления предикатов к тождественно истинным формулам приводит к тождественно истинным формулам. Это очевидно для правила заключения. Для правил переименования свободных и связанных переменных это также очевидно. [40]
Таким же образом доказывается, что применение второго правила связывания квантором к тождественно истинной формуле приводит к тождественно истинной формуле. [41]
Итак, мы показали, что всякая формула, выведенная из аксиом по правилам исчисления предикатов, является тождественно истинной формулой в содержательном смысле. Заметим, что мы вместе с тем получаем и доказательство непротиворечивости исчисления предикатов на основе наивной теории множеств. [42]
УИП, которые могут содержать наряду с предикатными символами и символы операций, и пусть 91 - 58 - тождественно истинная формула УИП. [43]
Доказать, что бескванторная формула истинна тогда и только тогда, когда она может быть получена подстановкой из некоторой тождественно истинной формулы исчисления высказываний. [44]
Итак, мы показали, что: 1) все аксиомы суть тождественно истинные формулы, 2) применяя к тождественно истинным формулам правила вывода, мы получаем также тождественно истинные формулы. Отсюда следует, что все выводимые формулы исчисления высказываний, рассматриваемые как формулы алгебры высказываний, являются тождественно истинными. В таком случае ясно, что если формула 51 выводима в исчислении высказывании, то формула 51 не может быть выводима, так как 51 - тождественно истинная формула, а 31 тогда, наоборот, принимает значение Л при всех значениях входящих переменных высказываний. Итак, непротиворечивость исчисления высказываний доказана. [45]