Cтраница 4
Кососимметрические ковариантные тензорные поля называются дифференциальными формами. Дифференциальные формы образуют некоммутативную алгебру относительно внешнего умножения. [46]
Уравнейия ( 3) и ( 5) называют уравнениями инфинитези-мального перемещения подвижного репера, связанного с ортогональной криволинейной системой координат. Дифференциальные формы СОА и ( о ( - у называют компонентами инфини-тезимального перемещения этого подвижного репера. [47]
Интегральные инварианты не принадлежат к объектам тензорного исчисления, так как они не подчиняются законам преобразования тензорных величин. Но дифференциальные формы, являющиеся основой интегральных инвариантов, удовлетворяют условиям инвариантности относительно некоторых точечных преобразований, о которых идет речь ниже, и, в ином смысле, относительно некоторой системы дифференциальных уравнений. Это обстоятельство позволяет применить тензорное исчисление к вопросам теории интегральных инвариантов. [48]
Естественно, что все авторы в основу проективно-дифференциальной геометрии кладут однородные координаты. Строя такие дифференциальные формы, которые бы сохранялись при всех проективных преобразованиях, Fubini должен был отбросить линейный элемент поверхности, так как длина линий при коллинации меняется. [49]
Картан, вмещение в пространство размерности 4 или 5 невозможно, и, следовательно, искомой второй квадратичной формы не существует. Картан, Внешние дифференциальные формы и их геометрические приложения, изд. [50]
Можно ли ввести что-нибудь подобное в гамильтоновом фазовом пространстве. Имеются ли какие-либо инвариантные дифференциальные формы, которые могли бы в нем играть роль формы ds2, как в лагранжевом пространстве конфигураций. Она также квадратична относительно дифференциалов, но связана при этом с двумя перемещениями и не имеет ничего общего с расстоянием. Геометрия фазового пространства имеет, таким образом, необычную метрику. Она похожа скорее на некую геометрию, в которой могут измеряться не расстояния, а площади. Поскольку основной дифференциальный инвариант канонических преобразований линеен по каждому из двух бесконечно малых перемещений, мы будем называть его билинейной дифференциальной формой. На основе этой инвариантной дифференциальной формы может быть построена полная теория канонических преобразований. [51]